Задача №16725

а) Решите уравнение
${\sin }^2\left(x-\frac{7\pi }{2}\right)=\sin \left(\frac{23\pi }{2}+x\right)\cdot \cos \left(\frac{19\pi }{2}-x\right)\text{.}$

б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку
$\left[-\frac{3\pi }{4};\frac{\pi }{2}\right]\text{.}$

Упростим выражения, используя периодичность $2\pi$ и формулы приведения.

$\sin \left(x-\frac{7\pi }{2}\right)=\sin \left(x-\frac{7\pi }{2}+4\pi \right)=\sin \left(x+\frac{\pi }{2}\right)=\cos x\text{.}$

Значит, ${\sin }^2\left(x-\frac{7\pi }{2}\right)={\cos }^{2}x\text{.}$

$\sin \left(\frac{23\pi }{2}+x\right)=\sin \left(x-\frac{\pi }{2}+12\pi \right)=\sin \left(x-\frac{\pi }{2}\right)=-\cos x\text{.}$

$\cos \left(\frac{19\pi }{2}-x\right)=\cos \left(\frac{3\pi }{2}-x+8\pi \right)=\cos \left(\frac{3\pi }{2}-x\right)=-\sin x\text{.}$

Уравнение примет вид:

$${\cos }^{2}x=(-\cos x)\cdot (-\sin x)=\sin x\cos x.$$ $$\cos x(\cos x-\sin x)=0.$$

Имеем две серии корней:
1. $\cos x=0\Rightarrow x=\frac{\pi }{2}+\pi n,n\in \mathbb{Z}\text{;}$
2. $\cos x-\sin x=0\Rightarrow \mathrm{tg}x=1\Rightarrow x=\frac{\pi }{4}+\pi n,n\in \mathbb{Z}\text{.}$

Отбор корней на отрезке $\left[-\frac{3\pi }{4};\frac{\pi }{2}\right]\text{.}$

Из серии $x=\frac{\pi }{2}+\pi n\text{:}$

• при $n=-1\text{:}$ $x=-\frac{\pi }{2}\text{,}$ $-\frac{3\pi }{4}⩽-\frac{\pi }{2}⩽\frac{\pi }{2}$ — подходит;
• при $n=0\text{:}$ $x=\frac{\pi }{2}\text{,}$ $-\frac{3\pi }{4}⩽\frac{\pi }{2}⩽\frac{\pi }{2}$ — подходит.

Из серии $x=\frac{\pi }{4}+\pi n\text{:}$

• при $n=-1\text{:}$ $x=-\frac{3\pi }{4}\text{,}$ $-\frac{3\pi }{4}⩽-\frac{3\pi }{4}⩽\frac{\pi }{2}$ — подходит;
• при $n=0\text{:}$ $x=\frac{\pi }{4}\text{,}$ $-\frac{3\pi }{4}⩽\frac{\pi }{4}⩽\frac{\pi }{2}$ — подходит.

Ответ:

а) $\frac{\pi }{2}+\pi n\text{;}$ $\frac{\pi }{4}+\pi n,n\in \mathbb{Z}$

б) $-\frac{3\pi }{4};-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{2}$