а) Решите уравнение sin^2(x - (7pi)/(2)) = sin((23pi)/(2) + x) * cos((19pi)/(2) - x) . б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку [-(3pi)/(4); (pi)/(2)] .

Упростим выражения, используя периодичность 2pi и формулы приведения. sin(x - (7pi)/(2)) = sin(x - (7pi)/(2) + 4pi) = sin(x + (pi)/(2)) = cos x . Значит, sin^2(x - (7pi)/(2)) = cos^2 x . sin((23pi)/(2) + x) = sin(x - (pi)/(2) + 12pi) = sin(x - (pi)/(2)) = -cos x . cos((19pi)/(2) - x) = cos((3pi)/(2) - x + 8pi) = cos((3pi)/(2) - x) = -sin x . Уравнение примет вид: cos^2 x = (-cos x) * (-sin x) = sin x cos x. cos x(cos x - sin x) = 0. Имеем две серии корней: 1. cos x = 0 => x = (pi)/(2) + pi n, n in Z ; 2. cos x - sin x = 0 => tg x = 1 => x = (pi)/(4) + pi n, n in Z . Отбор корней на отрезке [-(3pi)/(4); (pi)/(2)] . Из серии x = (pi)/(2) + pi n : - при n = -1 : x = -(pi)/(2) , -(3pi)/(4) -(pi)/(2) (pi)/(2) — подходит; - при n = 0 : x = (pi)/(2) , -(3pi)/(4) (pi)/(2) (pi)/(2) — подходит. Из серии x = (pi)/(4) + pi n : - при n = -1 : x = -(3pi)/(4) , -(3pi)/(4) -(3pi)/(4) (pi)/(2) — подходит; - при n = 0 : x = (pi)/(4) , -(3pi)/(4) (pi)/(4) (pi)/(2) — подходит. Ответ: а) (pi)/(2) + pi n ; (pi)/(4) + pi n, n in Z б) -(3pi)/(4); -(pi)/(2); (pi)/(4); (pi)/(2)

А) π/2+πn, π/4+πn; Б) -3π/4; -π/2; π/4; π/2