Диагонали равнобедренной трапеции ABCD с основаниями AD и BC перпендикулярны. Окружность с диаметром AD пересекает боковую сторону CD в точке M , а окружность с диаметром CD пересекает основание AD в точке N . Отрезки AM и CN пересекаются в точке P . а) Докажите, что точка P лежит на диагонали BD трапеции ABCD . б) Найдите расстояние от точки P до боковой стороны AB , если BC = 3 , AD = 21 .

Окружность с диаметром AD содержит точку M , поэтому AMD = 90^ , то есть AM CD . Значит, AM — высота треугольника ACD , проведённая из вершины A . Окружность с диаметром CD содержит точку N , поэтому CND = 90^ , то есть CN AD . Значит, CN — высота треугольника ACD , проведённая из вершины C . Прямые AM и CN — две высоты треугольника ACD , их пересечение P — ортоцентр треугольника ACD . Тогда третья высота — из вершины D на сторону AC — также проходит через точку P . Диагонали AC и BD равнобедренной трапеции по условию перпендикулярны. Значит, BD AC , и прямая BD , проходящая через точку D , является высотой треугольника ACD из вершины D . Следовательно, P in BD . В равнобедренной трапеции с перпендикулярными диагоналями высота равна полусумме оснований. Введём систему координат: A(-10,5;0) , D(10,5;0) , B(-1,5;h) , C(1,5;h) . Рассмотрим векторы: AC = (12;h), BD = (12;-h). Так как диагонали перпендикулярны, их скалярное произведение равно нулю: 12 * 12 + h * (-h) = 0 => 144 - h^2 = 0 => h = 12. Найдём координаты ортоцентра P треугольника ACD с вершинами A(-10,5;0) , C(1,5;12) и D(10,5;0) . 1. Высота из D на AC : вектор AC = (12;12) параллелен вектору (1;1) . Искомая высота перпендикулярна ему, её направляющий вектор (1;-1) . Уравнение прямой через D(10,5;0) : x = 10,5 + t, y = -t. 2. Высота из A на CD : вектор CD = (9;-12) параллелен вектору (3;-4) . Искомая высота имеет направляющий вектор (4;3) . Уравнение прямой через A(-10,5;0) : x = -10,5 + 4s, y = 3s. Для поиска точки P приравняем координаты: cases -t = 3s, 10,5 + t = -10,5 + 4s cases => cases t = -3s, 21 - 3s = 4s cases => s = 3, t = -9. Таким образом, P(10,5 - 9;9) = (1,5;9) . Найдём расстояние от P до прямой AB . Прямая AB проходит через точки A(-10,5;0) и B(-1,5;12) . Направляющий вектор AB = (9;12) , нормальный вектор (4;-3) . Уравнение прямой AB : 4(x + 10,5) - 3y = 0 <=> 4x - 3y + 42 = 0. Расстояние от точки P(1,5;9) до прямой AB вычислим по формуле: d(P;AB) = (|4 * 1,5 - 3 * 9 + 42|)/(sqrt(4^2 + (-3)^2)) = (|6 - 27 + 42|)/(5) = (21)/(5) = 4,2. Ответ: 4,2.

21/5