Задача №16724

Диагонали равнобедренной трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ перпендикулярны. Окружность с диаметром $AD$ пересекает боковую сторону $CD$ в точке $M\text{,}$ а окружность с диаметром $CD$ пересекает основание $AD$ в точке $N\text{.}$ Отрезки $AM$ и $CN$ пересекаются в точке $P\text{.}$

а) Докажите, что точка $P$ лежит на диагонали $BD$ трапеции $ABCD\text{.}$
б) Найдите расстояние от точки $P$ до боковой стороны $AB\text{,}$ если $BC=3\text{,}$ $AD=21\text{.}$

Окружность с диаметром $AD$ содержит точку $M\text{,}$ поэтому $\angle AMD=90^{\circ }\text{,}$ то есть $AM\perp CD\text{.}$ Значит, $AM$ — высота треугольника $ACD\text{,}$ проведённая из вершины $A\text{.}$

Окружность с диаметром $CD$ содержит точку $N\text{,}$ поэтому $\angle CND=90^{\circ }\text{,}$ то есть $CN\perp AD\text{.}$ Значит, $CN$ — высота треугольника $ACD\text{,}$ проведённая из вершины $C\text{.}$

Прямые $AM$ и $CN$ — две высоты треугольника $ACD\text{,}$ их пересечение $P$ — ортоцентр треугольника $ACD\text{.}$ Тогда третья высота — из вершины $D$ на сторону $AC$ — также проходит через точку $P\text{.}$

Диагонали $AC$ и $BD$ равнобедренной трапеции по условию перпендикулярны. Значит, $BD\perp AC\text{,}$ и прямая $BD\text{,}$ проходящая через точку $D\text{,}$ является высотой треугольника $ACD$ из вершины $D\text{.}$ Следовательно, $P\in BD\text{.}$

В равнобедренной трапеции с перпендикулярными диагоналями высота равна полусумме оснований. Введём систему координат: $A(-10,5;0)\text{,}$ $D(10,5;0)\text{,}$ $B(-1,5;h)\text{,}$ $C(1,5;h)\text{.}$

Рассмотрим векторы:

$$\overrightarrow{AC}=(12;h),\overrightarrow{BD}=(12;-h).$$

Так как диагонали перпендикулярны, их скалярное произведение равно нулю:

$$12\cdot 12+h\cdot (-h)=0\Rightarrow 144-h^2=0\Rightarrow h=12.$$

Найдём координаты ортоцентра $P$ треугольника $ACD$ с вершинами $A(-10,5;0)\text{,}$ $C(1,5;12)$ и $D(10,5;0)\text{.}$

1. Высота из $D$ на $AC\text{:}$ вектор $\overrightarrow{AC}=(12;12)$ параллелен вектору $(1;1)\text{.}$ Искомая высота перпендикулярна ему, её направляющий вектор $(1;-1)\text{.}$ Уравнение прямой через $D(10,5;0)\text{:}$

$$x=10,5+t,y=-t.$$

2. Высота из $A$ на $CD\text{:}$ вектор $\overrightarrow{CD}=(9;-12)$ параллелен вектору $(3;-4)\text{.}$ Искомая высота имеет направляющий вектор $(4;3)\text{.}$ Уравнение прямой через $A(-10,5;0)\text{:}$

$$x=-10,5+4s,y=3s.$$

Для поиска точки $P$ приравняем координаты:

$$\{\begin{array}{l}-t=3s,\\ 10,5+t=-10,5+4s\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}t=-3s,\\ 21-3s=4s\end{array}\Rightarrow s=3,t=-9.$$

Таким образом, $P(10,5-9;9)=(1,5;9)\text{.}$

Найдём расстояние от $P$ до прямой $AB\text{.}$ Прямая $AB$ проходит через точки $A(-10,5;0)$ и $B(-1,5;12)\text{.}$ Направляющий вектор $\overrightarrow{AB}=(9;12)\text{,}$ нормальный вектор $(4;-3)\text{.}$ Уравнение прямой $AB\text{:}$

$$4(x+10,5)-3y=0\iff 4x-3y+42=0.$$

Расстояние от точки $P(1,5;9)$ до прямой $AB$ вычислим по формуле:

$$d(P;AB)=\frac{|4\cdot 1,5-3\cdot 9+42|}{\sqrt{4^2+(-3{)}^2}}=\frac{|6-27+42|}{5}=\frac{21}{5}=4,2.$$

Ответ: 4,2.