Задача №16720

Решите неравенство
$x{\log }_3\left(\frac{x}{3}+2\right)⩾8{\log }_{1/9}\left(\frac{x}{3}+2\right)\text{.}$

Определим область допустимых значений неравенства:

Преобразуем правую часть, используя свойство логарифма ${\log }_{1/9}(y)=-\frac{1}{2}{\log }_3(y)\text{.}$ Тогда неравенство примет вид:

Определим знак логарифмического выражения:
1. ${\log }_3\left(\frac{x}{3}+2\right)⩾0$ при $\frac{x}{3}+2⩾1\iff x⩾-3\text{;}$
2. ${\log }_3\left(\frac{x}{3}+2\right)⩽0$ при $-6<x⩽-3\text{.}$

Рассмотрим два возможных случая для произведения множителей:

Случай 1. Оба множителя неотрицательны:
$x+4⩾0$ и $x⩾-3\Rightarrow x⩾-3\text{.}$

Случай 2. Оба множителя неположительны:
$x+4⩽0$ и $-6<x⩽-3\Rightarrow -6<x⩽-4\text{.}$

Объединяя результаты с учётом ОДЗ, получим:

Ответ: $(-6;-4]\cup [-3;+\infty )\text{.}$