Задача №16719

Решите неравенство:

${\log }_{3}x\cdot {\log }_3(4x^2-1)⩾{\log }_3\frac{x(4x^2-1)}{3}\text{.}$

ОДЗ: $x>0$ и $4x^2-1>0\text{,}$ то есть $x>\frac{1}{2}\text{.}$

Преобразование правой части:

$${\log }_3\frac{x(4x^2-1)}{3}={\log }_{3}x+{\log }_3(4x^2-1)-1.$$

Обозначим $u={\log }_{3}x\text{,}$ $v={\log }_3(4x^2-1)\text{.}$ Тогда неравенство принимает вид:

$$uv⩾u+v-1,$$ $$uv-u-v+1⩾0,$$ $$(u-1)(v-1)⩾0,$$ $$({\log }_{3}x-1)({\log }_3(4x^2-1)-1)⩾0,$$ $${\log }_3\frac{x}{3}\cdot {\log }_3\frac{4x^2-1}{3}⩾0.$$

Условие выполнено, когда оба множителя одного знака. Рассмотрим два случая:

1. Оба множителя неотрицательны:

$\frac{x}{3}⩾1$ и $\frac{4x^2-1}{3}⩾1\text{,}$ то есть $x⩾3$ и $x^2⩾1\text{.}$ С учётом ОДЗ получаем: $x⩾3\text{.}$

2. Оба множителя неположительны:

$\frac{x}{3}⩽1$ и $\frac{4x^2-1}{3}⩽1\text{,}$ то есть $x⩽3$ и $x^2⩽1\text{.}$ С учётом ОДЗ получаем: $\frac{1}{2}<x⩽1\text{.}$

Объединяя результаты, записываем ответ.

Ответ: $x\in \left(\frac{1}{2};1\right]\cup [3;+\infty )\text{.}$