Решите неравенство: _3 x * _3(4x^2-1) _3 (x(4x^2-1))/(3) .

ОДЗ: x > 0 и 4x^2 - 1 > 0 , то есть x > (1)/(2) . Преобразование правой части: _3 (x(4x^2-1))/(3) = _3 x + _3(4x^2-1) - 1. Обозначим u = _3 x , v = _3(4x^2-1) . Тогда неравенство принимает вид: u v u + v - 1, u v - u - v + 1 0, (u - 1)(v - 1) 0, (_3 x - 1)(_3(4x^2 - 1) - 1) 0, _3 (x)/(3) * _3 (4x^2 - 1)/(3) 0. Условие выполнено, когда оба множителя одного знака. Рассмотрим два случая: 1. Оба множителя неотрицательны: (x)/(3) 1 и (4x^2-1)/(3) 1 , то есть x 3 и x^2 1 . С учётом ОДЗ получаем: x 3 . 2. Оба множителя неположительны: (x)/(3) 1 и (4x^2-1)/(3) 1 , то есть x 3 и x^2 1 . С учётом ОДЗ получаем: (1)/(2) < x 1 . Объединяя результаты, записываем ответ. Ответ: x in ( (1)/(2); 1 ] U [3; +inf) .

$x \in \left(\dfrac{1}{2};\,1\right] \cup [3;\,+\infty)$