Задача №16718

В июле 2025 года планируется взять кредит в банке на три года в размере $S$ млн рублей, где $S$ — целое число. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг увеличивается на 15% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
— в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей.

Найдите наибольшее значение $S\text{,}$ при котором каждая из выплат будет меньше 4 млн рублей.

Обозначим выплаты в феврале — июне 2026, 2027, 2028 годов через $P_1,P_2,P_3$ (млн рублей).

Рассмотрим период 2025–2026 годов. В январе 2026 года долг увеличивается на 15% и составляет $1,15S\text{.}$ После выплаты $P_1$ в июле 2026 года долг должен составить $0,8S\text{:}$

$$P_1=1,15S-0,8S=0,35S.$$

Рассмотрим период 2026–2027 годов. В январе 2027 года долг увеличивается на 15% и составляет $1,15\cdot 0,8S=0,92S\text{.}$ После выплаты $P_2$ в июле 2027 года долг должен составить $0,5S\text{:}$

$$P_2=0,92S-0,5S=0,42S.$$

Рассмотрим период 2027–2028 годов. В январе 2028 года долг увеличивается на 15% и составляет $1,15\cdot 0,5S=0,575S\text{.}$ После выплаты $P_3$ в июле 2028 года долг должен быть полностью погашен:

$$P_3=0,575S.$$

По условию каждая из выплат должна быть меньше 4 млн рублей. Заметим, что $0,35S<0,42S<0,575S\text{,}$ поэтому достаточно потребовать выполнения условия для наибольшей выплаты:

$$0,575S<4\Rightarrow S<\frac{4}{0,575}=\frac{4000}{575}=\frac{160}{23}=6\frac{22}{23}.$$

Так как $S$ — целое число, то наибольшее значение $S$ равно 6.

Проверим выплаты при $S=6\text{:}$
1. $P_1=0,35\cdot 6=2,1<4\text{;}$
2. $P_2=0,42\cdot 6=2,52<4\text{;}$
3. $P_3=0,575\cdot 6=3,45<4\text{.}$

Все условия выполнены.

Ответ: 6.