Вершины A и C параллелограмма ABCD площади 15 соединены с серединами сторон BC и AD соответственно. Вершины B и D параллелограмма соединены с серединами сторон CD и AB . Найдите площадь четырёхугольника, образованного проведёнными отрезками.

Обозначим M , N , P , Q — середины сторон BC , AD , CD , AB соответственно. Проведённые отрезки AM , CN , BP , DQ ограничивают центральный четырёхугольник площади S . 1. Пусть K = AM n BP и L = CN n BP . В треугольнике BLC отрезок KM — средняя линия (соединяет середины BL и BC ), значит S_(BKM) = (1)/(4) S_(BLC) . Аналогично для трёх других угловых треугольников. Сумма площадей четырёх «малых» треугольников: S_(мал) = (1)/(4)(S_(BLC) + S_(CMD) + S_(DNA) + S_(AQB)). 2. Сумма площадей угловых треугольников BLC , CMD , DNA , AQB равна S_(ABCD) - S = 15 - S , поэтому S_(мал) = (1)/(4)(15 - S) . 3. Площадь каждого из треугольников ABM , BCP , CDN , DAQ равна (1)/(4) S_(ABCD) = (15)/(4) , и их суммарная площадь равна 15 . 4. С другой стороны, объединение этих четырёх треугольников состоит из четырёх угловых и четырёх малых: 15 = (15 - S) + (1)/(4)(15 - S) = (5)/(4)(15 - S). Отсюда 15 - S = 12 , S = 3 . Ответ: 3.

3