Задача №16715

Обозначим $M\text{,}$ $N\text{,}$ $P\text{,}$ $Q$ — середины сторон $BC\text{,}$ $AD\text{,}$ $CD\text{,}$ $AB$ соответственно. Проведённые отрезки $AM\text{,}$ $CN\text{,}$ $BP\text{,}$ $DQ$ ограничивают центральный четырёхугольник площади $S\text{.}$

1. Пусть $K=AM\cap BP$ и $L=CN\cap BP\text{.}$ В треугольнике $BLC$ отрезок $KM$ — средняя линия (соединяет середины $BL$ и $BC$), значит $S_{BKM}=\frac{1}{4}{S}_{BLC}\text{.}$ Аналогично для трёх других угловых треугольников. Сумма площадей четырёх «малых» треугольников:

$$S_{\text{мал}}=\frac{1}{4}(S_{BLC}+S_{CMD}+S_{DNA}+S_{AQB}).$$

2. Сумма площадей угловых треугольников $BLC\text{,}$ $CMD\text{,}$ $DNA\text{,}$ $AQB$ равна $S_{ABCD}-S=15-S\text{,}$ поэтому $S_{\text{мал}}=\frac{1}{4}(15-S)\text{.}$

3. Площадь каждого из треугольников $ABM\text{,}$ $BCP\text{,}$ $CDN\text{,}$ $DAQ$ равна $\frac{1}{4}{S}_{ABCD}=\frac{15}{4}\text{,}$ и их суммарная площадь равна $15\text{.}$

4. С другой стороны, объединение этих четырёх треугольников состоит из четырёх угловых и четырёх малых:

$$15=(15-S)+\frac{1}{4}(15-S)=\frac{5}{4}(15-S).$$

Отсюда $15-S=12\text{,}$ $S=3\text{.}$

Ответ: 3.