а) Решите уравнение ((81^(|cos x|))^(sin x) - 9^(sqrt(3)sin x))/(sqrt(tg x)) = 0 . б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку [ -2pi; -(pi)/(2) ] .

ОДЗ: tg x > 0 (выражение под корнем должно быть положительным, так как корень находится в знаменателе). 1. Числитель должен быть равен нулю: 81^(|cos x|sin x) = 9^(sqrt(3)sin x); 9^(2|cos x|sin x) = 9^(sqrt(3)sin x); 2|cos x|sin x = sqrt(3)sin x; sin x (2|cos x| - sqrt(3)) = 0. 2. Рассмотрим случай sin x = 0 . Тогда x = pi n, n in Z . Однако в этом случае tg x = 0 , что противоречит условию tg x > 0 . Следовательно, корней в данном случае нет. 3. Рассмотрим случай 2|cos x| - sqrt(3) = 0 . Отсюда |cos x| = (sqrt(3))/(2) , следовательно, cos x = +-(sqrt(3))/(2) . Это даёт серии корней x = +-(pi)/(6) + pi k, k in Z . Отберём те из них, для которых tg x > 0 (синус и косинус должны быть одного знака, то есть угол принадлежит I или III координатным четвертям): - x = (pi)/(6) + 2pi k (I четверть): tg x > 0 — подходит; - x = -(pi)/(6) + 2pi k (IV четверть): tg x < 0 — не подходит; - x = (5pi)/(6) + 2pi k (II четверть): tg x < 0 — не подходит; - x = (7pi)/(6) + 2pi k (III четверть): tg x > 0 — подходит. Объединяя подходящие серии (так как (7pi)/(6) = (pi)/(6) + pi ), получаем: x = (pi)/(6) + pi k, k in Z . 4. Отбор корней на отрезке [ -2pi; -(pi)/(2) ] . Составим двойное неравенство: -2pi (pi)/(6) + pi k -(pi)/(2). Разделим на pi : -2 (1)/(6) + k -(1)/(2); -2 - (1)/(6) k -(1)/(2) - (1)/(6); -(13)/(6) k -(2)/(3). Так как k in Z , возможные значения k = -2 и k = -1 . - При k = -2 : x = (pi)/(6) - 2pi = -(11pi)/(6) . - При k = -1 : x = (pi)/(6) - pi = -(5pi)/(6) . Ответ: а) (pi)/(6) + pi k, k in Z б) -(11pi)/(6); -(5pi)/(6)

А) $x = \dfrac{\pi}{6} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. Б) $-\dfrac{11\pi}{6};\ -\dfrac{5\pi}{6}$.