Задача №16714

а) Решите уравнение
$\frac{{\left(81^{|\cos x|}\right)}^{\sin x}-9^{\sqrt{3}\sin x}}{\sqrt{\mathrm{tg}x}}=0\text{.}$

б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку
$\left[-2\pi ;-\frac{\pi }{2}\right]\text{.}$

ОДЗ: $\mathrm{tg}x>0$ (выражение под корнем должно быть положительным, так как корень находится в знаменателе).

1. Числитель должен быть равен нулю:

$$81^{|\cos x|\sin x}=9^{\sqrt{3}\sin x};$$ $$9^{2|\cos x|\sin x}=9^{\sqrt{3}\sin x};$$ $$2|\cos x|\sin x=\sqrt{3}\sin x;$$ $$\sin x(2|\cos x|-\sqrt{3})=0.$$

2. Рассмотрим случай $\sin x=0\text{.}$

Тогда $x=\pi n,n\in \mathbb{Z}\text{.}$ Однако в этом случае $\mathrm{tg}x=0\text{,}$ что противоречит условию $\mathrm{tg}x>0\text{.}$ Следовательно, корней в данном случае нет.

3. Рассмотрим случай $2|\cos x|-\sqrt{3}=0\text{.}$

Отсюда $|\cos x|=\frac{\sqrt{3}}{2}\text{,}$ следовательно, $\cos x=\pm \frac{\sqrt{3}}{2}\text{.}$

Это даёт серии корней $x=\pm \frac{\pi }{6}+\pi k,k\in \mathbb{Z}\text{.}$ Отберём те из них, для которых $\mathrm{tg}x>0$ (синус и косинус должны быть одного знака, то есть угол принадлежит I или III координатным четвертям):

• $x=\frac{\pi }{6}+2\pi k$ (I четверть): $\mathrm{tg}x>0$ — подходит;
• $x=-\frac{\pi }{6}+2\pi k$ (IV четверть): $\mathrm{tg}x<0$ — не подходит;
• $x=\frac{5\pi }{6}+2\pi k$ (II четверть): $\mathrm{tg}x<0$ — не подходит;
• $x=\frac{7\pi }{6}+2\pi k$ (III четверть): $\mathrm{tg}x>0$ — подходит.

Объединяя подходящие серии (так как $\frac{7\pi }{6}=\frac{\pi }{6}+\pi$), получаем:
$x=\frac{\pi }{6}+\pi k,k\in \mathbb{Z}\text{.}$

4. Отбор корней на отрезке $\left[-2\pi ;-\frac{\pi }{2}\right]\text{.}$

Составим двойное неравенство:

$$-2\pi ⩽\frac{\pi }{6}+\pi k⩽-\frac{\pi }{2}.$$

Разделим на $\pi \text{:}$

$$-2⩽\frac{1}{6}+k⩽-\frac{1}{2};$$ $$-2-\frac{1}{6}⩽k⩽-\frac{1}{2}-\frac{1}{6};$$ $$-\frac{13}{6}⩽k⩽-\frac{2}{3}.$$

Так как $k\in \mathbb{Z}\text{,}$ возможные значения $k=-2$ и $k=-1\text{.}$

• При $k=-2\text{:}$ $x=\frac{\pi }{6}-2\pi =-\frac{11\pi }{6}\text{.}$
• При $k=-1\text{:}$ $x=\frac{\pi }{6}-\pi =-\frac{5\pi }{6}\text{.}$

Ответ:

а) $\frac{\pi }{6}+\pi k,k\in \mathbb{Z}$

б) $-\frac{11\pi }{6};-\frac{5\pi }{6}$