Задача №16713

15 декабря 2026 года планируется взять кредит в банке на 48 месяцев. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на $r$ процентов по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
— к 15 декабря 2030 года кредит должен быть полностью погашен.

Чему равно $r\text{,}$ если общая сумма платежей в 2030 году составит 3195 тыс. рублей, а в 2029 году — 3555 тыс. рублей?

Обозначим начальный долг (на 15 декабря 2026 г.) через $S$ тыс. руб., срок кредита $n=48$ месяцев.

Линейная (дифференцированная) схема погашения подразумевает, что долг на 15-е число $k$-го месяца после взятия составляет:

$$D_k=S\left(1-\frac{k}{48}\right),k=0,1,\dots ,48.$$

Платёж в $(k+1)$-м месяце складывается из процентов на текущий остаток долга $D_k$ и фиксированной части основного долга:

$$P_{k+1}=D_k\cdot \frac{r}{100}+\frac{S}{48}=\frac{S\cdot r}{100}\cdot \frac{48-k}{48}+\frac{S}{48}.$$

Суммарные платежи за год (12 месяцев) при условии, что выплаты охватывают период от $k=a$ до $k=a+11\text{,}$ вычисляются по формуле:

$${\Sigma }_{\text{год}}=\frac{S\bullet r}{4800}\sum _{k=a}^{a+11}(48-k)+12\cdot \frac{S}{48}=\frac{S\cdot r}{4800}\sum _{k=a}^{a+11}(48-k)+\frac{S}{4}.$$

Для 2030 года (выплаты за последние 12 месяцев, где $k$ принимает значения от 36 до 47):

$$\sum _{k=36}^{47}(48-k)=12+11+\dots +1=78.$$

Для 2029 года (выплаты за предыдущие 12 месяцев, где $k$ принимает значения от 24 до 35):

$$\sum _{k=24}^{35}(48-k)=24+23+\dots +13=222.$$

Из условий задачи составим систему уравнений:

\begin{cases} \displaystyle \dfrac{78 \cdot S \cdot r}{4800} + \dfrac{S}{4} = 3195, \tag{1} \\ \displaystyle \dfrac{222 \cdot S \cdot r}{4800} + \dfrac{S}{4} = 3555. \tag{2} \end{cases}

Вычтем уравнение (1) из уравнения (2):

$$\frac{(222-78)\cdot S\cdot r}{4800}=3555-3195,$$ $$\frac{144\cdot S\cdot r}{4800}=360\Rightarrow S\cdot r=\frac{360\cdot 4800}{144}=12000.$$

Подставим полученное произведение $S\cdot r=12000$ в уравнение (1):

$$\frac{78\cdot 12000}{4800}+\frac{S}{4}=3195,$$ $$195+\frac{S}{4}=3195\Rightarrow \frac{S}{4}=3000\Rightarrow S=12000.$$

Вычислим значение $r\text{:}$

$$r=\frac{S\cdot r}{S}=\frac{12000}{12000}=1.$$

Ответ: 1.