Задача №16712

Диагонали $BE$ и $DF$ основания $ABCDEF$ правильной шестиугольной призмы $ABCDEF{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1{E}_1{F}_1$ пересекаются в точке $P\text{,}$ а диагонали $F{E}_1$ и $E{F}_1$ боковой грани $EF{F}_1{E}_1$ пересекаются в точке $Q\text{.}$

а) Докажите, что прямая $QP$ параллельна плоскости $C{B}_1{E}_1\text{.}$
б) Найдите расстояние между прямой $QP$ и плоскостью $C{B}_1{E}_1\text{,}$ если сторона основания призмы $ABCDEF{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1{E}_1{F}_1$ равна $2\sqrt{3}\text{,}$ а её высота равна $4\text{.}$

Введём систему координат с началом в центре основания призмы; ось $z$ направлена вверх. Сторона основания $a=2\sqrt{3}\text{,}$ высота $H=4\text{.}$

Координаты вершин основания (для правильного шестиугольника радиус описанной окружности равен стороне):

$$\begin{array}{rl}& A(2\sqrt{3};0;0),B(\sqrt{3};3;0),C(-\sqrt{3};3;0),\\ & D(-2\sqrt{3};0;0),E(-\sqrt{3};-3;0),F(\sqrt{3};-3;0).\end{array}$$

Верхние вершины $X_1$ получаются прибавлением $(0;0;4)\text{.}$

Точка $P\text{.}$ Прямые $BE$ (большая диагональ) и $DF$ (меньшая диагональ) пересекаются в точке

$$P\left(-\frac{\sqrt{3}}{2};-\frac{3}{2};0\right).$$

Проверка: для $BE$ точка вида $(\sqrt{3}(1-2t);3(1-2t);0)\text{.}$ Для $DF$ точка вида $(\sqrt{3}(3u-2);-3u;0)\text{.}$ Из системы

$$\{\begin{array}{l}1-2t=3u-2,\\ 3(1-2t)=-3u\end{array}$$

находим $t=\frac{3}{4}\text{,}$ $u=\frac{1}{2}\text{.}$

Точка $Q$ — центр прямоугольника $EF{F}_1{E}_1\text{:}$

$$Q=\frac{E+F_1}{2}=(0;-3;2).$$

Плоскость $C{B}_1{E}_1\text{.}$ Найдём нормаль:

$$\overrightarrow{C{B}_1}=(2\sqrt{3};0;4),\overrightarrow{C{E}_1}=(0;-6;4),$$ $$\vec{n}=\overrightarrow{C{B}_1}\times \overrightarrow{C{E}_1}=(24;-8\sqrt{3};-12\sqrt{3})=4(6;-2\sqrt{3};-3\sqrt{3}).$$

Возьмём $\vec{n}=(6;-2\sqrt{3};-3\sqrt{3})\text{,}$ тогда его длина:

$$|\vec{n}|=\sqrt{36+12+27}=\sqrt{75}=5\sqrt{3}.$$

Уравнение плоскости (проходящей через $C$):

$$6x-2\sqrt{3}y-3\sqrt{3}z+12\sqrt{3}=0.$$

а) Направляющий вектор $\overrightarrow{PQ}=\left(\frac{\sqrt{3}}{2};-\frac{3}{2};2\right)\text{.}$ Проверим условие параллельности через скалярное произведение:

$$\overrightarrow{PQ}\cdot \vec{n}=6\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+(-2\sqrt{3})\cdot \left(-\frac{3}{2}\right)+(-3\sqrt{3})\cdot 2=3\sqrt{3}+3\sqrt{3}-6\sqrt{3}=0.$$

Подстановка $Q(0;-3;2)$ в уравнение плоскости даёт $0-2\sqrt{3}\cdot (-3)-3\sqrt{3}\cdot 2+12\sqrt{3}=12\sqrt{3}\ne 0\text{,}$ то есть $Q$ не лежит в плоскости. Значит, прямая $QP$ параллельна плоскости $C{B}_1{E}_1\text{.}$ Что и требовалось доказать.

б) Расстояние от прямой $QP$ до плоскости равно расстоянию от точки $Q$ до плоскости:

$$d=\frac{|12\sqrt{3}|}{5\sqrt{3}}=\frac{12}{5}=2,4.$$

Ответ:

б) $2,4\text{.}$