Диагонали BE и DF основания ABCDEF правильной шестиугольной призмы ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1 пересекаются в точке P , а диагонали FE_1 и EF_1 боковой грани EFF_1E_1 пересекаются в точке Q . а) Докажите, что прямая QP параллельна плоскости CB_1E_1 . б) Найдите расстояние между прямой QP и плоскостью CB_1E_1 , если сторона основания призмы ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1 равна 2sqrt(3) , а её высота равна 4 .

Введём систему координат с началом в центре основания призмы; ось z направлена вверх. Сторона основания a = 2sqrt(3) , высота H = 4 . Координаты вершин основания (для правильного шестиугольника радиус описанной окружности равен стороне): aligned &A(2sqrt(3);0;0), B(sqrt(3);3;0), C(-sqrt(3);3;0), &D(-2sqrt(3);0;0), E(-sqrt(3);-3;0), F(sqrt(3);-3;0). aligned Верхние вершины X_1 получаются прибавлением (0;0;4) . **Точка P .** Прямые BE (большая диагональ) и DF (меньшая диагональ) пересекаются в точке P(-(sqrt(3))/(2);-(3)/(2);0). *Проверка:* для BE точка вида (sqrt(3)(1-2t);3(1-2t);0) . Для DF точка вида (sqrt(3)(3u-2);-3u;0) . Из системы cases 1-2t = 3u-2, 3(1-2t) = -3u cases находим t = (3)/(4) , u = (1)/(2) . **Точка Q ** — центр прямоугольника EFF_1E_1 : Q = (E + F_1)/(2) = (0;-3;2). **Плоскость CB_1E_1 .** Найдём нормаль: CB_1 = (2sqrt(3);0;4), CE_1 = (0;-6;4), n = CB_1 * CE_1 = (24;-8sqrt(3);-12sqrt(3)) = 4(6;-2sqrt(3);-3sqrt(3)). Возьмём n = (6;-2sqrt(3);-3sqrt(3)) , тогда его длина: |n| = sqrt(36 + 12 + 27) = sqrt(75) = 5sqrt(3). Уравнение плоскости (проходящей через C ): 6x - 2sqrt(3)y - 3sqrt(3)z + 12sqrt(3) = 0. **а)** Направляющий вектор PQ = ((sqrt(3))/(2);-(3)/(2);2) . Проверим условие параллельности через скалярное произведение: PQ * n = 6 * (sqrt(3))/(2) + (-2sqrt(3)) * (-(3)/(2)) + (-3sqrt(3)) * 2 = 3sqrt(3) + 3sqrt(3) - 6sqrt(3) = 0. Подстановка Q(0;-3;2) в уравнение плоскости даёт 0 - 2sqrt(3) * (-3) - 3sqrt(3) * 2 + 12sqrt(3) = 12sqrt(3) != 0 , то есть Q не лежит в плоскости. Значит, прямая QP параллельна плоскости CB_1E_1 . Что и требовалось доказать. **б)** Расстояние от прямой QP до плоскости равно расстоянию от точки Q до плоскости: d = (|12sqrt(3)|)/(5sqrt(3)) = (12)/(5) = 2,4. Ответ: б) 2,4 .

12/5