Задача №16710

Две окружности разных радиусов касаются внешним образом в точке $C\text{.}$ Вершины $A$ и $B$ равнобедренного прямоугольного треугольника $ABC$ с прямым углом $C$ лежат на меньшей и большей окружностях соответственно. Прямая $AC$ вторично пересекает большую окружность в точке $E\text{,}$ а прямая $BC$ вторично пересекает меньшую окружность в точке $D\text{.}$

а) Докажите, что прямые $AD$ и $BE$ параллельны.
б) Найдите $BC\text{,}$ если радиусы окружностей равны $\sqrt{7}$ и $3\text{.}$

Обозначим $R_1=\sqrt{7}$ — радиус меньшей окружности с центром $O_1\text{,}$ $R_2=3$ — радиус большей окружности с центром $O_2\text{.}$ Окружности касаются внешне в точке $C\text{.}$

а) Рассмотрим гомотетию $H$ с центром $C$ и коэффициентом $k=-\frac{R_2}{R_1}\text{.}$ Так как $\overrightarrow{C{O}_2}=-\frac{R_2}{R_1}\overrightarrow{C{O}_1}$ (центры по разные стороны от $C$) и $|k|\cdot R_1=R_2\text{,}$ эта гомотетия переводит меньшую окружность в большую.

Точка $A$ лежит на меньшей окружности; прямая $CA$ продолжается до её пересечения с большей в точке $E\text{.}$ Гомотетия $H$ переводит $A$ в $E$ (по построению образа на прямой $CA$).

Точка $D$ на меньшей окружности лежит на прямой $CB\text{.}$ Образ $H(D)$ должен лежать на прямой $CB$ и на большой окружности — это либо точка $C\text{,}$ либо точка $B\text{.}$ Так как $D\ne C\text{,}$ имеем $H(D)=B\text{.}$

Гомотетия сохраняет параллельность, поэтому прямая $AD$ при гомотетии $H$ переходит в прямую $EB\text{.}$ Следовательно, $AD\parallel BE\text{.}$

б) Поместим начало координат в точку $C=(0;0)\text{,}$ а ось $Ox$ направим вдоль линии центров. Тогда $O_1=(-R_1;0)\text{,}$ $O_2=(R_2;0)\text{.}$

Уравнения окружностей:

$$x^2+2R_{1}x+y^2=0\text{ (меньшая)},$$ $$x^2-2R_{2}x+y^2=0\text{ (большая)}.$$

Для точки $A(x_A;y_A)\text{,}$ лежащей на меньшей окружности:
$|CA{|}^2=x_A^2+y_A^2=-2R_1{x}_A\text{.}$

Для точки $B(x_B;y_B)\text{,}$ лежащей на большей окружности:
$|CB{|}^2=x_B^2+y_B^2=2R_2{x}_B\text{.}$

Используем условие равнобедренности $|CA|=|CB|\text{:}$

$$-2R_1{x}_A=2R_2{x}_B\Rightarrow x_A=-\frac{R_2}{R_1}{x}_B.$$

По условию прямого угла $\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{CB}=0\text{,}$ следовательно,
$x_A{x}_B+y_A{y}_B=0\text{.}$

Используя соотношения $y_A^2=-2R_1{x}_A-x_A^2$ и $y_B^2=2R_2{x}_B-x_B^2\text{,}$ после подстановки $x_A=-\frac{R_2}{R_1}{x}_B$ и алгебраических упрощений получаем:

$$x_B=\frac{2R_1^2{R}_2}{R_1^2+R_2^2}.$$

Подставим значения $R_1^2=7\text{,}$ $R_2=3\text{,}$ $R_2^2=9\text{:}$

$$x_B=\frac{2\cdot 7\cdot 3}{7+9}=\frac{42}{16}=\frac{21}{8}.$$

Тогда

$$B{C}^2=2R_2{x}_B=6\cdot \frac{21}{8}=\frac{63}{4}.$$

Отсюда находим длину отрезка:

$$BC=\sqrt{\frac{63}{4}}=\frac{3\sqrt{7}}{2}.$$

Ответ:

б) $\frac{3\sqrt{7}}{2}$