Две окружности разных радиусов касаются внешним образом в точке C . Вершины A и B равнобедренного прямоугольного треугольника ABC с прямым углом C лежат на меньшей и большей окружностях соответственно. Прямая AC вторично пересекает большую окружность в точке E , а прямая BC вторично пересекает меньшую окружность в точке D . а) Докажите, что прямые AD и BE параллельны. б) Найдите BC , если радиусы окружностей равны sqrt(7) и 3 .

Обозначим R_1 = sqrt(7) — радиус меньшей окружности с центром O_1 , R_2 = 3 — радиус большей окружности с центром O_2 . Окружности касаются внешне в точке C . а) Рассмотрим гомотетию H с центром C и коэффициентом k = -(R_2)/(R_1) . Так как CO_2 = -(R_2)/(R_1)CO_1 (центры по разные стороны от C ) и |k| * R_1 = R_2 , эта гомотетия переводит меньшую окружность в большую. Точка A лежит на меньшей окружности; прямая CA продолжается до её пересечения с большей в точке E . Гомотетия H переводит A в E (по построению образа на прямой CA ). Точка D на меньшей окружности лежит на прямой CB . Образ H(D) должен лежать на прямой CB и на большой окружности — это либо точка C , либо точка B . Так как D != C , имеем H(D) = B . Гомотетия сохраняет параллельность, поэтому прямая AD при гомотетии H переходит в прямую EB . Следовательно, AD BE . б) Поместим начало координат в точку C = (0;0) , а ось Ox направим вдоль линии центров. Тогда O_1 = (-R_1;0) , O_2 = (R_2;0) . Уравнения окружностей: x^2 + 2R_1 x + y^2 = 0 (меньшая), x^2 - 2R_2 x + y^2 = 0 (большая). Для точки A(x_A;y_A) , лежащей на меньшей окружности: |CA|^2 = x_A^2 + y_A^2 = -2R_1 x_A . Для точки B(x_B;y_B) , лежащей на большей окружности: |CB|^2 = x_B^2 + y_B^2 = 2R_2 x_B . Используем условие равнобедренности |CA| = |CB| : -2R_1 x_A = 2R_2 x_B => x_A = -(R_2)/(R_1)x_B. По условию прямого угла CA * CB = 0 , следовательно, x_A x_B + y_A y_B = 0 . Используя соотношения y_A^2 = -2R_1 x_A - x_A^2 и y_B^2 = 2R_2 x_B - x_B^2 , после подстановки x_A = -(R_2)/(R_1)x_B и алгебраических упрощений получаем: x_B = (2R_1^2 R_2)/(R_1^2 + R_2^2). Подставим значения R_1^2 = 7 , R_2 = 3 , R_2^2 = 9 : x_B = (2 * 7 * 3)/(7 + 9) = (42)/(16) = (21)/(8). Тогда BC^2 = 2R_2 x_B = 6 * (21)/(8) = (63)/(4). Отсюда находим длину отрезка: BC = sqrt((63)/(4)) = (3sqrt(7))/(2). Ответ: б) (3sqrt(7))/(2)

3√7/2