Задача №16709

На рёбрах $AB$ и $BC$ треугольной пирамиды $DABC$ отмечены точки $M$ и $N$ так, что $AM:MB=CN:NB=1:3\text{.}$ Точки $P$ и $Q$ — середины рёбер $DA$ и $DC$ соответственно.

а) Докажите, что точки $P\text{,}$ $Q\text{,}$ $M$ и $N$ лежат в одной плоскости.
б) Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость $PQM$ делит пирамиду.

а) Доказательство.

Точки $P\text{,}$ $Q$ — середины рёбер $DA$ и $DC\text{,}$ поэтому $PQ$ — средняя линия треугольника $DAC\text{,}$ следовательно, $PQ\parallel AC\text{.}$

В треугольнике $ABC\text{:}$ $\frac{AM}{MB}=\frac{CN}{NB}=\frac{1}{3}\text{,}$ значит, по теореме о пропорциональных отрезках (обратной теореме Фалеса) $MN\parallel AC\text{.}$

Получили $PQ\parallel MN\text{.}$ Через две параллельные прямые проходит ровно одна плоскость, поэтому точки $P\text{,}$ $Q\text{,}$ $M\text{,}$ $N$ лежат в одной плоскости, что и требовалось доказать.

б) Решение.

Обозначим $V_{DABC}=V$ и пусть $H_D\text{,}$ $H_A$ — высоты пирамиды из вершин $D$ и $A$ соответственно.

Плоскость $PQMN$ делит пирамиду на две части. «Верхняя» часть (содержащая вершину $D$) — пятигранник $DPMNQ\text{;}$ вычислим объём «нижней» части $V_1$ (содержащей $A$ и $C\text{,}$ ограниченной $PQMN$ и гранями $ABC\text{,}$ $ABD\text{,}$ $BCD$). Разобьём её на две пирамиды с общей вершиной $P\text{:}$

1. Пирамида $PAMNC$ с основанием — четырёхугольник $AMNC$ в плоскости $ABC\text{.}$ Высота $h_P$ из $P$ на $ABC$ равна $\frac{1}{2}{H}_D$ (так как $P$ — середина $DA$). Площадь основания: $S_{AMNC}=S_{ABC}-S_{MBN}\text{.}$ Треугольник $MBN\sim ABC$ с коэффициентом $\frac{BM}{AB}=\frac{3}{4}\text{,}$ значит, $S_{MBN}={\left(\frac{3}{4}\right)}^2{S}_{ABC}=\frac{9}{16}{S}_{ABC}\text{,}$ откуда $S_{AMNC}=\frac{7}{16}{S}_{ABC}\text{.}$

$$V_{PAMNC}=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}{H}_D\cdot \frac{7}{16}{S}_{ABC}=\frac{7}{32}V.$$

2. Пирамида $PCNQ$ с основанием — треугольник $CNQ$ в плоскости $BCD\text{.}$ Высота $h_P$ из $P$ на $BCD$ равна $\frac{1}{2}{H}_A$ (так как $P$ — середина $DA\text{,}$ расстояние от $P$ до $BCD$ — половина расстояния от $A$). Площадь $△CNQ\text{:}$ используя формулу площадей треугольников с общим углом,

\dfrac{S_{CNQ}}{S_{BCD}} = \dfrac{CN \cdot CQ}{CB \cdot CD} = \dfrac{(1/4) CB · (1/2) CD}{CB · CD} = \dfrac{1}{8},

значит, $S_{CNQ}=\frac{1}{8}{S}_{BCD}\text{.}$

$$V_{PCNQ}=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}{H}_A\cdot \frac{1}{8}{S}_{BCD}=\frac{1}{16}V.$$

Сложив объёмы, получим:

$$V_1=\frac{7}{32}V+\frac{1}{16}V=\frac{7}{32}V+\frac{2}{32}V=\frac{9}{32}V.$$

Тогда $V_2=V-V_1=\frac{23}{32}V\text{,}$ и отношение искомых объёмов:

$$\frac{V_1}{V_2}=\frac{9}{23}.$$

Ответ: $9:23\text{.}$