На рёбрах AB и BC треугольной пирамиды DABC отмечены точки M и N так, что AM : MB = CN : NB = 1 : 3 . Точки P и Q — середины рёбер DA и DC соответственно. а) Докажите, что точки P , Q , M и N лежат в одной плоскости. б) Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость PQM делит пирамиду.

а) Доказательство. Точки P , Q — середины рёбер DA и DC , поэтому PQ — средняя линия треугольника DAC , следовательно, PQ AC . В треугольнике ABC : (AM)/(MB) = (CN)/(NB) = (1)/(3) , значит, по теореме о пропорциональных отрезках (обратной теореме Фалеса) MN AC . Получили PQ MN . Через две параллельные прямые проходит ровно одна плоскость, поэтому точки P , Q , M , N лежат в одной плоскости, что и требовалось доказать. б) Решение. Обозначим V_(DABC) = V и пусть H_D , H_A — высоты пирамиды из вершин D и A соответственно. Плоскость PQMN делит пирамиду на две части. «Верхняя» часть (содержащая вершину D ) — пятигранник DPMNQ ; вычислим объём «нижней» части V_1 (содержащей A и C , ограниченной PQMN и гранями ABC , ABD , BCD ). Разобьём её на две пирамиды с общей вершиной P : 1. Пирамида PAMNC с основанием — четырёхугольник AMNC в плоскости ABC . Высота h_P из P на ABC равна (1)/(2)H_D (так как P — середина DA ). Площадь основания: S_(AMNC) = S_(ABC) - S_(MBN) . Треугольник MBN ABC с коэффициентом (BM)/(AB) = (3)/(4) , значит, S_(MBN) = ((3)/(4))^2 S_(ABC) = (9)/(16) S_(ABC) , откуда S_(AMNC) = (7)/(16) S_(ABC) . V_(PAMNC) = (1)/(3) * (1)/(2) H_D * (7)/(16) S_(ABC) = (7)/(32) V. 2. Пирамида PCNQ с основанием — треугольник CNQ в плоскости BCD . Высота h_P из P на BCD равна (1)/(2) H_A (так как P — середина DA , расстояние от P до BCD — половина расстояния от A ). Площадь CNQ : используя формулу площадей треугольников с общим углом, (S_(CNQ))/(S_(BCD)) = (CN * CQ)/(CB * CD) = ((1/4) CB · (1/2) CD)/(CB · CD) = (1)/(8), значит, S_(CNQ) = (1)/(8) S_(BCD) . V_(PCNQ) = (1)/(3) * (1)/(2) H_A * (1)/(8) S_(BCD) = (1)/(16) V. Сложив объёмы, получим: V_1 = (7)/(32) V + (1)/(16) V = (7)/(32) V + (2)/(32) V = (9)/(32) V. Тогда V_2 = V - V_1 = (23)/(32) V , и отношение искомых объёмов: (V_1)/(V_2) = (9)/(23). Ответ: 9 : 23 .

Б) $V_1 : V_2 = 9 : 23$.