Точка M — середина бокового ребра SC правильной четырёхугольной пирамиды SABCD, точка N лежит на стороне основания BC. Плоскость α проходит через точки M и N параллельно боковому ребру SA.
а) Плоскость α пересекает ребро SD в точке L. Докажите, что
BN:NC=DL:LS.
б) Пусть BN:NC=1:2. Найдите отношение многогранников, на которые плоскость α разбивает пирамиду.
а) Введём систему координат: A(0;0;0), B(2;0;0), C(2;2;0), D(0;2;0), S(1;1;h). Тогда M как середина SC имеет координаты:
M=(23;23;2h).Точка N лежит на BC так, что BN:NC=t:(1−t), тогда N(2;2t;0). Вектор SA=(−1;−1;−h).
Прямая SD задаётся уравнением (1−u;1+u;h(1−u)), где u∈[0;1]. Произвольная точка плоскости α:
X=M+s(N−M)+rSA.Приравнивая X и точку на SD, получаем линейную систему относительно u, s и r. Решение даёт u=t, то есть DSDL=t. С другой стороны:
LSDL=1−tt=NCBN.б) При BN:NC=1:2 имеем t=31. Тогда N(2;32;0) и L(31;35;3h).
Аналогичное вычисление показывает, что плоскость α пересекает ребро AD в точке K(0;34;0), при этом DK:KA=1:2. Сечение пирамиды представляет собой четырёхугольник MLKN.
Пусть h=1. Тогда полный объём пирамиды:
V=31⋅4⋅1=34=2736.Часть пирамиды, содержащую вершину S, разобьём на две фигуры:
1. Пирамида над трапецией ABNK в основании (где ∣AK∣=34, ∣BN∣=32, ∣AB∣=2). Её площадь:
SABNK=21(34+32)⋅2=2.Объём этой пирамиды: 31⋅2⋅1=32=2718.
2. Многогранник над сечением MLKN. Разбив его на тетраэдры S−MLK и S−MKN и применив формулу через определитель, получаем суммарный объём 272+276=278.
Суммарный объём части, содержащей вершину S:
2718+278=2726.Объём второй части (содержащей точки C и D):
2736−2726=2710.Отношение объёмов многогранников:
2710:2726=10:26=5:13.Ответ:
б) 5:13
Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Геометрия
Ларин