Точка M — середина бокового ребра SC правильной четырёхугольной пирамиды SABCD , точка N лежит на стороне основания BC . Плоскость alpha проходит через точки M и N параллельно боковому ребру SA . а) Плоскость alpha пересекает ребро SD в точке L . Докажите, что BN : NC = DL : LS . б) Пусть BN : NC = 1 : 2 . Найдите отношение многогранников, на которые плоскость alpha разбивает пирамиду.

а) Введём систему координат: A(0; 0; 0) , B(2; 0; 0) , C(2; 2; 0) , D(0; 2; 0) , S(1; 1; h) . Тогда M как середина SC имеет координаты: M = ( (3)/(2); (3)/(2); (h)/(2) ). Точка N лежит на BC так, что BN : NC = t : (1 - t) , тогда N(2; 2t; 0) . Вектор SA = (-1; -1; -h) . Прямая SD задаётся уравнением (1 - u; 1 + u; h(1 - u)) , где u in [0; 1] . Произвольная точка плоскости alpha : X = M + s(N - M) + r SA. Приравнивая X и точку на SD , получаем линейную систему относительно u , s и r . Решение даёт u = t , то есть (DL)/(DS) = t . С другой стороны: (DL)/(LS) = (t)/(1 - t) = (BN)/(NC). б) При BN : NC = 1 : 2 имеем t = (1)/(3) . Тогда N(2; (2)/(3); 0) и L((1)/(3); (5)/(3); (h)/(3)) . Аналогичное вычисление показывает, что плоскость alpha пересекает ребро AD в точке K(0; (4)/(3); 0) , при этом DK : KA = 1 : 2 . Сечение пирамиды представляет собой четырёхугольник MLKN . Пусть h = 1 . Тогда полный объём пирамиды: V = (1)/(3) * 4 * 1 = (4)/(3) = (36)/(27). Часть пирамиды, содержащую вершину S , разобьём на две фигуры: 1. Пирамида над трапецией ABNK в основании (где |AK| = (4)/(3) , |BN| = (2)/(3) , |AB| = 2 ). Её площадь: S_(ABNK) = (1)/(2) ( (4)/(3) + (2)/(3) ) * 2 = 2. Объём этой пирамиды: (1)/(3) * 2 * 1 = (2)/(3) = (18)/(27) . 2. Многогранник над сечением MLKN . Разбив его на тетраэдры S-MLK и S-MKN и применив формулу через определитель, получаем суммарный объём (2)/(27) + (6)/(27) = (8)/(27) . Суммарный объём части, содержащей вершину S : (18)/(27) + (8)/(27) = (26)/(27). Объём второй части (содержащей точки C и D ): (36)/(27) - (26)/(27) = (10)/(27). Отношение объёмов многогранников: (10)/(27) : (26)/(27) = 10 : 26 = 5 : 13. Ответ: б) 5 : 13

5 : 13