Задача №16707

В треугольнике $ABC$ с тупым углом $ACB$ проведена высота $CH\text{.}$ Окружность с центром $H$ и радиусом $HC$ второй раз пересекает стороны $AC$ и $BC$ в точках $M$ и $N$ соответственно, $CD$ — диаметр этой окружности.

а) Докажите, что $\angle MDN=\angle CAB+\angle ABC\text{.}$
б) Найдите длину отрезка $MN\text{,}$ если $AB=16\sqrt{2}\text{,}$ $CM:MA=5:19$ и $CN:NB=5:7\text{.}$

а) $CD$ — диаметр окружности с центром $H$ и радиусом $HC\text{.}$ Точки $M$ и $N$ лежат на этой окружности, поэтому вписанные углы $\angle CMD$ и $\angle CND$ опираются на диаметр $CD\text{:}$

$$\angle CMD=\angle CND=90^{\circ }.$$

В четырёхугольнике $CMDN$ сумма углов равна $360^{\circ }\text{:}$

$$\angle MCN+\angle CMD+\angle MDN+\angle DNC=360^{\circ }.$$

Поскольку $M$ лежит на стороне $AC\text{,}$ а $N$ — на стороне $BC\text{,}$ имеем $\angle MCN=\angle ACB\text{.}$ Тогда:

$$\angle MDN=360^{\circ }-180^{\circ }-\angle ACB=180^{\circ }-\angle ACB=\angle CAB+\angle ABC.$$

б) Введём систему координат: $H(0;0)$ (нога высоты), ось $x$ — вдоль $AB\text{,}$ $C(0;h)\text{,}$ где $h=CH>0\text{.}$ Окружность имеет уравнение $x^2+y^2=h^2\text{.}$

Для прямой, проходящей через $C$ и пересекающей окружность во второй точке: длина хорды равна $2CK\text{,}$ где $K$ — основание перпендикуляра из центра $H$ на эту прямую. В прямоугольном треугольнике $ACH$ ($\angle H=90^{\circ }$): $CK=\frac{C{H}^2}{CA}=\frac{h^2}{CA}\text{.}$ Аналогично для $CB\text{.}$

Значит:

$$CM=\frac{2h^2}{CA},CN=\frac{2h^2}{CB}.$$

Из условия $CM:MA=5:19$ следует $CA=24x\text{,}$ $CM=5x\text{.}$ Тогда:

$$5x=\frac{2h^2}{24x}\Rightarrow h^2=60x^2.$$

Из условия $CN:NB=5:7$ следует $CB=12y\text{,}$ $CN=5y\text{.}$ Тогда:

$$5y=\frac{2h^2}{12y}\Rightarrow h^2=30y^2.$$

Приравнивая, получаем $60x^2=30y^2\Rightarrow y=x\sqrt{2}\text{.}$ Тогда:

$$AH=\sqrt{C{A}^2-h^2}=\sqrt{576x^2-60x^2}=2x\sqrt{129},$$ $$BH=\sqrt{C{B}^2-h^2}=\sqrt{288x^2-60x^2}=2x\sqrt{57}.$$

Так как угол $ACB$ тупой, нога высоты $H$ лежит вне отрезка $AB\text{.}$ Считаем, что точки $A$ и $B$ лежат по одну сторону от $H\text{:}$

$$AB=AH-BH=2x(\sqrt{129}-\sqrt{57})=16\sqrt{2}.$$

Отсюда находим $x^2\text{:}$

$$x^2=\frac{128}{186-2\sqrt{7353}}=\frac{64(93+\sqrt{7353})}{1296}.$$

Координаты точек: $A(-2x\sqrt{129};0)\text{,}$ $B(-2x\sqrt{57};0)\text{,}$ $C(0;2x\sqrt{15})\text{.}$

Тогда координаты точек $M$ и $N\text{:}$

$$M=C+\frac{5}{24}(A-C)=\left(-\frac{5x\sqrt{129}}{12};\frac{19x\sqrt{15}}{12}\right),$$ $$N=C+\frac{5}{12}(B-C)=\left(-\frac{5x\sqrt{57}}{6};\frac{7x\sqrt{15}}{6}\right).$$

Вектор $\overrightarrow{MN}\text{:}$

$$\overrightarrow{MN}=\left(\frac{5x}{12}(\sqrt{129}-2\sqrt{57});-\frac{5x\sqrt{15}}{12}\right).$$

Квадрат длины отрезка $MN\text{:}$

$$|MN{|}^2=\frac{25x^2}{144}\left((\sqrt{129}-2\sqrt{57}{)}^2+15\right)=\frac{25x^2}{144}\left(372-4\sqrt{7353}\right).$$

Подставляем значение $x^2\text{:}$

$$|MN{|}^2=\frac{25}{144}\cdot \frac{64(93+\sqrt{7353})(372-4\sqrt{7353})}{1296}.$$

Раскроем скобки в числителе:

$$(93+\sqrt{7353})(372-4\sqrt{7353})=93\cdot 372-4\cdot 7353+(372-4\cdot 93)\sqrt{7353}=34596-29412+0=5184.$$

Окончательно получаем:

$$|MN{|}^2=\frac{25\cdot 64\cdot 5184}{144\cdot 1296}=\frac{25\cdot 64\cdot 4}{144}=\frac{6400}{144}=\frac{400}{9}.$$ $$|MN|=\frac{20}{3}.$$

Ответ: $\frac{20}{3}\text{.}$