В треугольнике ABC с тупым углом ACB проведена высота CH . Окружность с центром H и радиусом HC второй раз пересекает стороны AC и BC в точках M и N соответственно, CD — диаметр этой окружности. а) Докажите, что MDN = CAB + ABC . б) Найдите длину отрезка MN , если AB = 16sqrt(2) , CM : MA = 5 : 19 и CN : NB = 5 : 7 .

а) CD — диаметр окружности с центром H и радиусом HC . Точки M и N лежат на этой окружности, поэтому вписанные углы CMD и CND опираются на диаметр CD : CMD = CND = 90^. В четырёхугольнике CMDN сумма углов равна 360^ : MCN + CMD + MDN + DNC = 360^. Поскольку M лежит на стороне AC , а N — на стороне BC , имеем MCN = ACB . Тогда: MDN = 360^ - 180^ - ACB = 180^ - ACB = CAB + ABC. б) Введём систему координат: H(0; 0) (нога высоты), ось x — вдоль AB , C(0; h) , где h = CH > 0 . Окружность имеет уравнение x^2 + y^2 = h^2 . Для прямой, проходящей через C и пересекающей окружность во второй точке: длина хорды равна 2CK , где K — основание перпендикуляра из центра H на эту прямую. В прямоугольном треугольнике ACH ( H = 90^ ): CK = (CH^2)/(CA) = (h^2)/(CA) . Аналогично для CB . Значит: CM = (2h^2)/(CA), CN = (2h^2)/(CB). Из условия CM : MA = 5 : 19 следует CA = 24x , CM = 5x . Тогда: 5x = (2h^2)/(24x) => h^2 = 60x^2. Из условия CN : NB = 5 : 7 следует CB = 12y , CN = 5y . Тогда: 5y = (2h^2)/(12y) => h^2 = 30y^2. Приравнивая, получаем 60x^2 = 30y^2 => y = xsqrt(2) . Тогда: AH = sqrt(CA^2 - h^2) = sqrt(576x^2 - 60x^2) = 2xsqrt(129), BH = sqrt(CB^2 - h^2) = sqrt(288x^2 - 60x^2) = 2xsqrt(57). Так как угол ACB тупой, нога высоты H лежит вне отрезка AB . Считаем, что точки A и B лежат по одну сторону от H : AB = AH - BH = 2x(sqrt(129) - sqrt(57)) = 16sqrt(2). Отсюда находим x^2 : x^2 = (128)/(186 - 2sqrt(7353)) = (64(93 + sqrt(7353)))/(1296). Координаты точек: A(-2xsqrt(129); 0) , B(-2xsqrt(57); 0) , C(0; 2xsqrt(15)) . Тогда координаты точек M и N : M = C + (5)/(24)(A - C) = (-(5xsqrt(129))/(12); (19xsqrt(15))/(12)), N = C + (5)/(12)(B - C) = (-(5xsqrt(57))/(6); (7xsqrt(15))/(6)). Вектор MN : MN = ((5x)/(12)(sqrt(129) - 2sqrt(57)); -(5xsqrt(15))/(12)). Квадрат длины отрезка MN : |MN|^2 = (25x^2)/(144)((sqrt(129) - 2sqrt(57))^2 + 15) = (25x^2)/(144)(372 - 4sqrt(7353)). Подставляем значение x^2 : |MN|^2 = (25)/(144) * (64(93 + sqrt(7353))(372 - 4sqrt(7353)))/(1296). Раскроем скобки в числителе: (93 + sqrt(7353))(372 - 4sqrt(7353)) = 93 * 372 - 4 * 7353 + (372 - 4 * 93)sqrt(7353) = 34596 - 29412 + 0 = 5184. Окончательно получаем: |MN|^2 = (25 * 64 * 5184)/(144 * 1296) = (25 * 64 * 4)/(144) = (6400)/(144) = (400)/(9). |MN| = (20)/(3). Ответ: (20)/(3) .

20/3