Задача №16705

Ежедневно в зоопарке каждой лисе полагается 2 кг мяса, тигру — 14 кг, льву — 21 кг. Известно, что у каждого льва бывает ежедневно 230 посетителей, у каждой лисы — 20, у каждого тигра — 160 и все эти звери есть в зоопарке.

а) Какое число посещений будет у этих животных, если ежедневно в зоопарке распределяют 70 кг мяса?
б) Может ли ежедневно распределяться 420 кг мяса, если известно, что посещений за 1 день было меньше 4000?
в) Каким может быть наибольшее ежедневное число посещений у этих зверей, если зоопарк ежедневно распределяет между ними 111 кг мяса?

Пусть в зоопарке $x$ лис, $y$ тигров, $z$ львов, причём по условию $x,y,z⩾1\text{.}$

Расход мяса: $M=2x+14y+21z\text{.}$
Число посещений: $V=20x+160y+230z\text{.}$

а) При $M=70$ ищем целые $x,y,z⩾1\text{,}$ такие что $2x+14y+21z=70\text{.}$

Так как $2x+14y$ всегда чётно, то $21z$ тоже должно быть чётным, значит $z$ — чётное. Минимально $z=2\text{.}$

1. Если $z=2\text{:}$

$$2x+14y=70-42=28,$$

то есть $x+7y=14\text{.}$ При $y=1\text{:}$ $x=7\text{.}$ При $y=2\text{:}$ $x=0$ — не подходит.

2. Если $z=4\text{:}$

$$2x+14y=70-84<0$$

— не подходит.

Единственное решение: $x=7,y=1,z=2\text{.}$

Найдём число посещений:

$$V=20\cdot 7+160\cdot 1+230\cdot 2=140+160+460=760.$$

б) При $M=420\text{,}$ может ли быть $V<4000\text{?}$

Ищем минимально возможное $V$ при ограничении $2x+14y+21z=420\text{,}$ при $x,y,z⩾1\text{.}$

Количество посещений на 1 кг мяса:

• лиса: $20/2=10\text{;}$
• лев: $230/21\approx 10,95\text{;}$
• тигр: $160/14\approx 11,43\text{.}$

Чтобы минимизировать $V\text{,}$ нужно как можно больше «мяса вложить в лис». Однако необходимы $y⩾1$ и $z⩾1\text{.}$ Аналогично пункту а, $21z$ должно быть чётным, поэтому $z$ чётно, минимально $z=2\text{.}$

При $z=2\text{:}$ $2x+14y=420-42=378\text{,}$ $x+7y=189\text{.}$ Минимизация $V$ при заданной сумме $x+7y$ требует минимального $y$ (так как при увеличении $y$ на 1 и уменьшении $x$ на 7 имеем $\Delta V=160-7\cdot 20=+20>0$).

Берём $y=1\text{,}$ тогда $x=182\text{:}$

$$V=20\cdot 182+160+230\cdot 2=3640+160+460=4260.$$

Если увеличить $z$ до 4: $2x+14y=420-84=336\text{,}$ $x+7y=168\text{.}$ При $y=1,x=161\text{:}$

$$V=3220+160+920=4300>4260.$$

Далее $V$ будет только расти. Значит, $V⩾4260\text{,}$ поэтому $V<4000$ невозможно.

в) При $M=111\text{,}$ ищем наибольшее $V\text{.}$

Из сравнения «эффективности» — наибольший $V/M$ у тигра. Значит, нужно максимизировать долю мяса, идущую тиграм. Заметим, что $2x+14y$ чётно, 111 нечётно, значит $21z$ нечётно, то есть $z$ — нечётно, $z⩾1\text{.}$

1. При $z=1\text{:}$ $2x+14y=90\text{,}$ $x+7y=45\text{.}$ Максимизируем $V=20x+160y+230\text{,}$ где замена $y\to y+1,x\to x-7$ даёт $\Delta V=160-140=+20\text{,}$ то есть нужно как можно больше $y\text{.}$ Максимум $y$ при $x⩾1\text{:}$ $7y⩽44\text{,}$ то есть $y=6\text{.}$ При $y=6,x=3\text{:}$

$$V=20\cdot 3+160\cdot 6+230\cdot 1=60+960+230=1250.$$

2. При $z=3\text{:}$ $2x+14y=48\text{,}$ $x+7y=24\text{.}$ Максимум $y\text{:}$ $y=3$ (при этом $x=3$).

$$V=20\cdot 3+160\cdot 3+230\cdot 3=60+480+690=1230<1250.$$

3. При $z=5\text{:}$ $2x+14y=6\text{,}$ $x+7y=3\text{.}$ Только $y=0,x=3\text{,}$ но по условию $y⩾1$ — нет решений.

Следовательно, максимум $V=1250\text{.}$

Ответ:

а) 760

б) Нет

в) 1250