Задача №16704

Решите уравнение ${\log }_2(2x^2+x-3)={\log }_2(1-x)+1\text{.}$ Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из них.

ОДЗ.

$1-x>0\iff x<1\text{.}$

$2x^2+x-3>0\text{.}$ Разложим: $2x^2+x-3=(2x+3)(x-1)\text{.}$ Корни $x=-\frac{3}{2}$ и $x=1\text{.}$ Неравенство выполнено при $x<-\frac{3}{2}$ или $x>1\text{.}$

Пересечение: $x<-\frac{3}{2}\text{.}$

Преобразование.

Уравнение становится:

Преобразуем:

Отбор корней.

$x_1=1\text{:}$ не входит в ОДЗ ($x<-\frac{3}{2}$).

$x_2=-2,5\text{:}$ $-2,5<-1,5$ — входит в ОДЗ.

Единственный корень $-2,5\text{.}$

Ответ: $-2,5\text{.}$