Задача №16703

В августе 2026 года Адам Иванович планирует взять кредит на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:

• каждый февраль долг возрастает на $r\%$ по сравнению с концом предыдущего года;
• с марта по июль каждого года необходимо выплатить часть долга одним платежом.

Известно, что если Адам Иванович каждый раз будет выплачивать по 200 000 рублей, то он рассчитается по кредиту за 4 года, а если по 328 000 рублей, то за 2 года.

Найдите $r\text{.}$

Введём обозначения: пусть $S$ — сумма кредита (в тыс. руб.), $a=1+\frac{r}{100}\text{.}$

Ситуация 1 (платёж 200 тыс. руб., 4 года): после четырёх итераций «процент → платёж» долг обнуляется:

$$\left(\right((Sa-200)a-200)a-200)a-200=0,$$

то есть

$$S{a}^4-200a^3-200a^2-200a-200=0.\text{\hspace{1em}(1)}$$

Ситуация 2 (платёж 328 тыс. руб., 2 года):

$$(Sa-328)a-328=0,$$

то есть $S{a}^2-328a-328=0\text{,}$ откуда

$$S{a}^2=328(a+1).\text{\hspace{1em}(2)}$$

Умножим (2) на $a^2\text{:}$

$$S{a}^4=328(a+1)a^2.$$

Подставим в (1):

$$328(a+1)a^2-200a^3-200a^2-200a-200=0,$$ $$(328-200)a^3+(328-200)a^2-200a-200=0,$$ $$128a^3+128a^2-200a-200=0\iff 128a^2(a+1)-200(a+1)=0\iff (a+1)(128a^2-200)=0.$$

Так как $a>0\text{,}$ корень $a=-1$ не подходит. Значит,

$$128a^2=200,a^2=\frac{25}{16},a=\frac{5}{4}.$$

Тогда

$$1+\frac{r}{100}=\frac{5}{4},\frac{r}{100}=\frac{1}{4},r=25.$$

Ответ: $r=25$ (процентов).