Задача №16702

Решите неравенство:

$${\log }_{5}x+{\log }_x\frac{x}{3}⩽\frac{{\log }_{5}x\cdot (2-{\log }_{3}x)}{{\log }_{3}x}.$$

Запишем второе слагаемое в левой части:

$${\log }_x\frac{x}{3}={\log }_{x}x-{\log }_{x}3=1-\frac{1}{{\log }_{3}x}.$$

Тогда исходное неравенство равносильно

$${\log }_{5}x+1-\frac{1}{{\log }_{3}x}⩽\frac{{\log }_{5}x\cdot (2-{\log }_{3}x)}{{\log }_{3}x}.$$

Введём обозначения $a={\log }_{5}x\text{,}$ $b={\log }_{3}x\text{.}$ Неравенство принимает вид

$$a+1-\frac{1}{b}⩽\frac{a(2-b)}{b}\iff \frac{ab+b-1-a(2-b)}{b}⩽0\iff \frac{2ab-2a+b-1}{b}⩽0\iff \frac{(b-1)(2a+1)}{b}⩽0,$$

или равносильно

$$\frac{(b-1)(a+0,5)}{b}⩽0.$$

Возвращаемся к $x\text{:}$

$$\frac{({\log }_{3}x-1)({\log }_{5}x+0,5)}{{\log }_{3}x}⩽0,x>0,x\ne 1.$$

Нули числителя в области $x>0\text{,}$ $x\ne 1\text{:}$ ${\log }_{3}x=1\Rightarrow x=3$ и ${\log }_{5}x=-0,5\Rightarrow x=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}\text{.}$ Точка разрыва (нуль знаменателя): $x=1\text{.}$

Методом интервалов на $(0;+\infty )$ с контрольными точками $\frac{1}{3}\text{,}$ $\frac{1}{\sqrt{3}}\text{,}$ $2\text{,}$ $9$ получаем знаки $-,+,-,+\text{.}$ Неравенство $⩽0$ выполнено на $\left(0;\frac{\sqrt{5}}{5}\right]$ и $(1;3]\text{.}$

Ответ: $\left(0;\frac{\sqrt{5}}{5}\right]\cup (1;3]\text{.}$