Решите неравенство: _5 x + _x (x)/(3) (_5 x * (2 - _3 x))/(_3 x).

Запишем второе слагаемое в левой части: _x (x)/(3) = _x x - _x 3 = 1 - (1)/(_3 x). Тогда исходное неравенство равносильно _5 x + 1 - (1)/(_3 x) (_5 x * (2 - _3 x))/(_3 x). Введём обозначения a = _5 x , b = _3 x . Неравенство принимает вид a + 1 - (1)/(b) (a(2 - b))/(b) <=> (ab + b - 1 - a(2 - b))/(b) 0 <=> (2ab - 2a + b - 1)/(b) 0 <=> ((b - 1)(2a + 1))/(b) 0, или равносильно ((b - 1)(a + 0,5))/(b) 0. Возвращаемся к x : ((_3 x - 1)(_5 x + 0,5))/(_3 x) 0, x > 0, x != 1. Нули числителя в области x > 0 , x != 1 : _3 x = 1 => x = 3 и _5 x = -0,5 => x = (1)/(sqrt(5)) = (sqrt(5))/(5) . Точка разрыва (нуль знаменателя): x = 1 . Методом интервалов на (0; +inf) с контрольными точками (1)/(3) , (1)/(sqrt(3)) , 2 , 9 получаем знаки -, +, -, + . Неравенство 0 выполнено на (0; (sqrt(5))/(5)] и (1; 3] . Ответ: (0; (sqrt(5))/(5)] U (1; 3] .

$x \in \left(0;\ \dfrac{\sqrt{5}}{5}\right] \cup (1;\ 3]$.