Задача №16700

Найдите наибольшее значение функции $y=11+6x-4x\sqrt{x}$ на отрезке $[0;21]\text{.}$

Рассмотрим функцию $y=11+6x-4x\sqrt{x}=11+6x-4x^{3/2}$ на отрезке $[0;21]\text{.}$

Найдём производную:

Найдём критические точки внутри отрезка:

Проанализируем поведение функции на промежутках:

1. При $x\in (0;1)\text{:}$ $\sqrt{x}<1\text{,}$ поэтому $y^{\prime }>0$ (функция возрастает).
2. При $x\in (1;21)\text{:}$ $\sqrt{x}>1\text{,}$ поэтому $y^{\prime }<0$ (функция убывает).

Значит, $x=1$ — точка максимума функции на заданном отрезке.

Вычислим значение функции в этой точке:

Ответ: 13