Найдите все значения параметра a , при каждом из которых существует только одно значение x , удовлетворяющее системе уравнений: cases |x^2 - 5x + 4| - 9x^2 - 5x + 4 + 10x|x| = 0, x^2 - 2(a - 1)x + a(a - 2) = 0. cases

Шаг 1. Решаем первое уравнение системы. Нули подмодульных выражений: x^2 - 5x + 4 = 0 => x = 1 или x = 4 ; x = 0 — нуль выражения |x| . Знак x^2 - 5x + 4 : положителен при x < 1 и x > 4 , отрицателен при 1 < x < 4 . Знак x : отрицателен при x < 0 , положителен при x > 0 . 1. x < 0 . Тогда |x^2 - 5x + 4| = x^2 - 5x + 4 и 10x|x| = -10x^2 . Уравнение: (x^2 - 5x + 4) - 9x^2 - 5x + 4 - 10x^2 = 0 <=> 18x^2 + 10x - 8 = 0 <=> 9x^2 + 5x - 4 = 0. Корни x = -1 и x = (4)/(9) . Условию x < 0 удовлетворяет только x = -1 . 2. 0 x < 1 или x > 4 . Тогда |x^2 - 5x + 4| = x^2 - 5x + 4 и 10x|x| = 10x^2 . Уравнение: (x^2 - 5x + 4) - 9x^2 - 5x + 4 + 10x^2 = 0 <=> 2x^2 - 10x + 8 = 0 <=> x^2 - 5x + 4 = 0, откуда x = 1 или x = 4 . Ни одно из этих значений не лежит в указанных промежутках — решений нет. 3. 1 x 4 . Тогда |x^2 - 5x + 4| = -(x^2 - 5x + 4) и 10x|x| = 10x^2 . Уравнение: -(x^2 - 5x + 4) - 9x^2 - 5x + 4 + 10x^2 = 0 <=> 0 = 0, т. е. оно выполняется при всех x из [1; 4] . Итак, первое уравнение задаёт множество x in -1 U [1; 4] . Шаг 2. Второе уравнение. По обратной теореме Виета x^2 - 2(a - 1)x + a(a - 2) = 0 имеет корни x = a и x = a - 2 (сумма = 2a - 2 = 2(a - 1) , произведение = a(a - 2) ). Шаг 3. Графический анализ в плоскости (x; a) . Первое уравнение задаёт прямую x = -1 и вертикальную полосу 1 x 4 (включая границы). Второе — две параллельные прямые a = x и a = x + 2 . Графиком решений системы является пересечение указанных множеств. Найдём точки этого пересечения с границами полосы и прямой x = -1 : - a = x : (-1; -1) , (1; 1) , (4; 4) ; - a = x + 2 : (-1; 1) , (1; 3) , (4; 6) . Внутри полосы 1 x 4 обе прямые a = x и a = x + 2 дают по одному отрезку решений; на прямой x = -1 — две изолированные точки (-1; -1) и (-1; 1) . Для фиксированного a = a_0 количество решений системы равно числу точек пересечения горизонтали a = a_0 с этим объединением. Перебирая горизонтали: - a < -1 : 0 решений; - a = -1 : одна точка (-1; -1) — 1 решение; - -1 < a < 1 : 0 решений; - a = 1 : точки (-1; 1) и (1; 1) — 2 решения; - 1 < a < 3 : одна точка на прямой a = x (внутри полосы); прямая a = x + 2 при таких a давала бы x = a - 2 in (-1; 1) , что не входит в нашу фигуру — 1 решение; - a = 3 : точка (3; 3) на прямой a = x и точка (1; 3) на прямой a = x + 2 — 2 решения; - 3 < a 4 : две точки (по одной на каждой прямой, обе в полосе) — 2 решения; - 4 < a 6 : точка прямой a = x выходит за полосу ( x = a > 4 ), остаётся одна точка (a - 2; a) на прямой a = x + 2 при a - 2 in (2; 4] — 1 решение; - a > 6 : 0 решений. Итого ровно одно решение существует при a in -1 U (1; 3) U (4; 6] . Ответ: a in -1 U (1; 3) U (4; 6] .

$a \in \{-1\} \cup (1;\ 3) \cup (4;\ 6]$