Задача №16698

Найдите все значения параметра $a\text{,}$ при каждом из которых существует только одно значение $x\text{,}$ удовлетворяющее системе уравнений:

$$\{\begin{array}{l}\left|x^2-5x+4\right|-9x^2-5x+4+10x|x|=0,\\ x^2-2(a-1)x+a(a-2)=0.\end{array}$$

Шаг 1. Решаем первое уравнение системы.

Нули подмодульных выражений: $x^2-5x+4=0\Rightarrow x=1$ или $x=4\text{;}$ $x=0$ - нуль выражения $|x|\text{.}$ Знак $x^2-5x+4\text{:}$ положителен при $x<1$ и $x>4\text{,}$ отрицателен при $1<x<4\text{.}$ Знак $x\text{:}$ отрицателен при $x<0\text{,}$ положителен при $x>0\text{.}$

1. $x<0\text{.}$ Тогда $|x^2-5x+4|=x^2-5x+4$ и $10x|x|=-10x^2\text{.}$ Уравнение:

$$(x^2-5x+4)-9x^2-5x+4-10x^2=0\iff 18x^2+10x-8=0\iff 9x^2+5x-4=0.$$

Корни $x=-1$ и $x=\frac{4}{9}\text{.}$ Условию $x<0$ удовлетворяет только $x=-1\text{.}$

2. $0⩽x<1$ или $x>4\text{.}$ Тогда $|x^2-5x+4|=x^2-5x+4$ и $10x|x|=10x^2\text{.}$ Уравнение:

$$(x^2-5x+4)-9x^2-5x+4+10x^2=0\iff 2x^2-10x+8=0\iff x^2-5x+4=0,$$

откуда $x=1$ или $x=4\text{.}$ Ни одно из этих значений не лежит в указанных промежутках — решений нет.

3. $1⩽x⩽4\text{.}$ Тогда $|x^2-5x+4|=-(x^2-5x+4)$ и $10x|x|=10x^2\text{.}$ Уравнение:

$$-(x^2-5x+4)-9x^2-5x+4+10x^2=0\iff 0=0,$$

т. е. оно выполняется при всех $x$ из $[1;4]\text{.}$

Итак, первое уравнение задаёт множество $x\in \{-1\}\cup [1;4]\text{.}$

Шаг 2. Второе уравнение. По обратной теореме Виета $x^2-2(a-1)x+a(a-2)=0$ имеет корни $x=a$ и $x=a-2$ (сумма $=2a-2=2(a-1)\text{,}$ произведение $=a(a-2)$).

Шаг 3. Графический анализ в плоскости $(x;a)\text{.}$ Первое уравнение задаёт прямую $x=-1$ и вертикальную полосу $1⩽x⩽4$ (включая границы). Второе — две параллельные прямые $a=x$ и $a=x+2\text{.}$

Графиком решений системы является пересечение указанных множеств. Найдём точки этого пересечения с границами полосы и прямой $x=-1\text{:}$

• $a=x\text{:}$ $(-1;-1)\text{,}$ $(1;1)\text{,}$ $(4;4)\text{;}$
• $a=x+2\text{:}$ $(-1;1)\text{,}$ $(1;3)\text{,}$ $(4;6)\text{.}$

Внутри полосы $1⩽x⩽4$ обе прямые $a=x$ и $a=x+2$ дают по одному отрезку решений; на прямой $x=-1$ — две изолированные точки $(-1;-1)$ и $(-1;1)\text{.}$

Для фиксированного $a=a_0$ количество решений системы равно числу точек пересечения горизонтали $a=a_0$ с этим объединением. Перебирая горизонтали:

• $a<-1\text{:}$ 0 решений;
• $a=-1\text{:}$ одна точка $(-1;-1)$ — 1 решение;
• $-1<a<1\text{:}$ 0 решений;
• $a=1\text{:}$ точки $(-1;1)$ и $(1;1)$ — 2 решения;
• $1<a<3\text{:}$ одна точка на прямой $a=x$ (внутри полосы); прямая $a=x+2$ при таких $a$ давала бы $x=a-2\in (-1;1)\text{,}$ что не входит в нашу фигуру — 1 решение;
• $a=3\text{:}$ точка $(3;3)$ на прямой $a=x$ и точка $(1;3)$ на прямой $a=x+2$ — 2 решения;
• $3<a⩽4\text{:}$ две точки (по одной на каждой прямой, обе в полосе) — 2 решения;
• $4<a⩽6\text{:}$ точка прямой $a=x$ выходит за полосу ($x=a>4$), остаётся одна точка $(a-2;a)$ на прямой $a=x+2$ при $a-2\in (2;4]$ — 1 решение;
• $a>6\text{:}$ 0 решений.

Итого ровно одно решение существует при $a\in \{-1\}\cup (1;3)\cup (4;6]\text{.}$

Ответ: $a\in \{-1\}\cup (1;3)\cup (4;6]\text{.}$