Основание пирамиды SABC — прямоугольный треугольник ABC с прямым углом при вершине C . Ребро SA является высотой пирамиды. Точки E и F лежат на рёбрах AC и BS соответственно так, что SF : FB = AE : EC = 1 : 5 . а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью alpha , проходящей через точки E и F перпендикулярно прямой AC , является прямоугольником. б) Точки H и M — точки пересечения плоскости alpha с прямыми AB и CS . Найдите объём многогранника BCMEHF , если объём пирамиды SABC равен 216.

Введём систему координат. Поставим начало координат в точку C . Поскольку ACB = 90^ , оси CA и CB взаимно перпендикулярны. Так как SA — высота пирамиды, SA ABC . Пусть: — C(0; 0; 0) ; — A(a; 0; 0) , где a = CA ; — B(0; b; 0) , где b = CB ; — S(a; 0; h) , где h = SA . Тогда CA направлен по оси Ox . **Координаты точек E, F, H, M ** По условию AE : EC = 1 : 5 , то есть AE = (1)/(6)AC , точка E ближе к A : E = A + (1)/(6)(C - A) = ( (5a)/(6); 0; 0 ). По условию SF : FB = 1 : 5 , то есть SF = (1)/(6)SB , точка F ближе к S : F = S + (1)/(6)(B - S) = ( (5a)/(6); (b)/(6); (5h)/(6) ). Замечаем: у точек E и F совпадает координата x = (5a)/(6) . Плоскость alpha перпендикулярна AC (оси Ox ), значит, её уравнение x = (5a)/(6) . Найдём координаты точки H = alpha n AB . На прямой AB точки имеют вид (a(1-t); bt; 0) . Из a(1-t) = (5a)/(6) получаем t = (1)/(6) : H = ( (5a)/(6); (b)/(6); 0 ), AH : HB = 1 : 5. Найдём координаты точки M = alpha n CS . На прямой CS точки имеют вид (at; 0; ht) . Из at = (5a)/(6) получаем t = (5)/(6) : M = ( (5a)/(6); 0; (5h)/(6) ), CM : MS = 5 : 1. **а) Сечение — прямоугольник** В плоскости alpha ( x = (5a)/(6) ) четыре точки имеют координаты (y; z) : E(0; 0), H( (b)/(6); 0 ), F( (b)/(6); (5h)/(6) ), M( 0; (5h)/(6) ). Это четыре вершины прямоугольника со сторонами EH = MF = (b)/(6) и EM = HF = (5h)/(6) . Стороны взаимно перпендикулярны (направления вдоль Oy и Oz ). Значит, сечение EHFM — прямоугольник. Что и требовалось доказать. **б) Объём многогранника BCMEHF ** Используем то, что объём пирамиды SABC равен (1)/(6)abh = 216 , откуда abh = 1296 . Плоскость x = (5a)/(6) делит пирамиду SABC на две части. Часть, содержащую B и C , обозначим V_2 — это и есть многогранник BCMEHF . Площадь сечения пирамиды плоскостью x = const внутри пирамиды равна площади прямоугольника со сторонами (b(a-x))/(a) (по Oy ) и (hx)/(a) (по Oz ): S(x) = (bh * x(a-x))/(a^2). Объём части V_2 : V_2 = _0^(5a/6) (bh * x(a-x))/(a^2) dx = (bh)/(a^2) [ (ax^2)/(2) - (x^3)/(3) ]_0^(5a/6). Подставим пределы интегрирования: (a)/(2) ( (5a)/(6) )^2 - (1)/(3) ( (5a)/(6) )^3 = (25a^3)/(72) - (125a^3)/(648) = (225a^3 - 125a^3)/(648) = (100a^3)/(648) = (25a^3)/(162). Тогда: V_2 = (bh)/(a^2) * (25a^3)/(162) = (25abh)/(162). При abh = 1296 : V_2 = (25 * 1296)/(162) = 25 * 8 = 200. Ответ: 200.

200