Задача №16697

Основание пирамиды $SABC$ — прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C\text{.}$ Ребро $SA$ является высотой пирамиды. Точки $E$ и $F$ лежат на рёбрах $AC$ и $BS$ соответственно так, что $SF:FB=AE:EC=1:5\text{.}$

а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью $\alpha \text{,}$ проходящей через точки $E$ и $F$ перпендикулярно прямой $AC\text{,}$ является прямоугольником.
б) Точки $H$ и $M$ — точки пересечения плоскости $\alpha$ с прямыми $AB$ и $CS\text{.}$ Найдите объём многогранника $BCMEHF\text{,}$ если объём пирамиды $SABC$ равен 216.

Введём систему координат.

Поставим начало координат в точку $C\text{.}$ Поскольку $\angle ACB=90^{\circ }\text{,}$ оси $CA$ и $CB$ взаимно перпендикулярны. Так как $SA$ — высота пирамиды, $SA\perp ABC\text{.}$

Пусть:
— $C(0;0;0)\text{;}$
— $A(a;0;0)\text{,}$ где $a=CA\text{;}$
— $B(0;b;0)\text{,}$ где $b=CB\text{;}$
— $S(a;0;h)\text{,}$ где $h=SA\text{.}$

Тогда $\overrightarrow{CA}$ направлен по оси $Ox\text{.}$

Координаты точек $E,F,H,M$

По условию $AE:EC=1:5\text{,}$ то есть $AE=\frac{1}{6}AC\text{,}$ точка $E$ ближе к $A\text{:}$

$$E=A+\frac{1}{6}(C-A)=\left(\frac{5a}{6};0;0\right).$$

По условию $SF:FB=1:5\text{,}$ то есть $SF=\frac{1}{6}SB\text{,}$ точка $F$ ближе к $S\text{:}$

$$F=S+\frac{1}{6}(B-S)=\left(\frac{5a}{6};\frac{b}{6};\frac{5h}{6}\right).$$

Замечаем: у точек $E$ и $F$ совпадает координата $x=\frac{5a}{6}\text{.}$ Плоскость $\alpha$ перпендикулярна $AC$ (оси $Ox$), значит, её уравнение $x=\frac{5a}{6}\text{.}$

Найдём координаты точки $H=\alpha \cap AB\text{.}$ На прямой $AB$ точки имеют вид $(a(1-t);bt;0)\text{.}$ Из $a(1-t)=\frac{5a}{6}$ получаем $t=\frac{1}{6}\text{:}$

$$H=\left(\frac{5a}{6};\frac{b}{6};0\right),AH:HB=1:5.$$

Найдём координаты точки $M=\alpha \cap CS\text{.}$ На прямой $CS$ точки имеют вид $(at;0;ht)\text{.}$ Из $at=\frac{5a}{6}$ получаем $t=\frac{5}{6}\text{:}$

$$M=\left(\frac{5a}{6};0;\frac{5h}{6}\right),CM:MS=5:1.$$

а) Сечение — прямоугольник

В плоскости $\alpha$ $\left(x=\frac{5a}{6}\right)$ четыре точки имеют координаты $(y;z)\text{:}$

$$E(0;0),H\left(\frac{b}{6};0\right),F\left(\frac{b}{6};\frac{5h}{6}\right),M\left(0;\frac{5h}{6}\right).$$

Это четыре вершины прямоугольника со сторонами $EH=MF=\frac{b}{6}$ и $EM=HF=\frac{5h}{6}\text{.}$ Стороны взаимно перпендикулярны (направления вдоль $Oy$ и $Oz$). Значит, сечение $EHFM$ — прямоугольник. Что и требовалось доказать.

б) Объём многогранника $BCMEHF$

Используем то, что объём пирамиды $SABC$ равен $\frac{1}{6}abh=216\text{,}$ откуда $abh=1296\text{.}$

Плоскость $x=\frac{5a}{6}$ делит пирамиду $SABC$ на две части. Часть, содержащую $B$ и $C\text{,}$ обозначим $V_2$ — это и есть многогранник $BCMEHF\text{.}$

Площадь сечения пирамиды плоскостью $x=\text{const}$ внутри пирамиды равна площади прямоугольника со сторонами $\frac{b(a-x)}{a}$ (по $Oy$) и $\frac{hx}{a}$ (по $Oz$):

$$S(x)=\frac{bh\cdot x(a-x)}{a^2}.$$

Объём части $V_2\text{:}$

$$V_2=\underset{0}{\overset{5a/6}{\int }}\frac{bh\cdot x(a-x)}{a^2}dx=\frac{bh}{a^2}{\left[\frac{a{x}^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right]}_0^{5a/6}.$$

Подставим пределы интегрирования:

$$\frac{a}{2}{\left(\frac{5a}{6}\right)}^2-\frac{1}{3}{\left(\frac{5a}{6}\right)}^3=\frac{25a^3}{72}-\frac{125a^3}{648}=\frac{225a^3-125a^3}{648}=\frac{100a^3}{648}=\frac{25a^3}{162}.$$

Тогда:

$$V_2=\frac{bh}{a^2}\cdot \frac{25a^3}{162}=\frac{25abh}{162}.$$

При $abh=1296\text{:}$

$$V_2=\frac{25\cdot 1296}{162}=25\cdot 8=200.$$

Ответ: 200.