Задача №16695

Найдите все значения параметра $a\text{,}$ при которых уравнение

$$\frac{3|x+a|-a+x-10}{\sqrt{x^2-18x-88}}=0$$

имеет ровно два корня.

Рассмотрим уравнение:

$$\frac{3|x+a|-a+x-10}{\sqrt{x^2-18x-88}}=0.$$

ОДЗ. Знаменатель дроби должен быть строго больше нуля:

$$x^2-18x-88>0.$$

Корни квадратного трёхчлена: $x=\frac{18\pm \sqrt{18^2-4\cdot (-88)}}{2}=\frac{18\pm 26}{2}\text{,}$ то есть $x=22$ и $x=-4\text{.}$
Следовательно, $x\in (-\infty ;-4)\cup (22;+\infty )\text{.}$

Уравнение для числителя. Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю:

$$3|x+a|=a+10-x.$$

Для существования решений необходимо, чтобы правая часть была неотрицательной: $x⩽a+10\text{.}$

Раскрытие модуля.

1. При $x⩾-a\text{:}$

$$3(x+a)=a+10-x\Rightarrow 4x=-2a+10\Rightarrow x_1=\frac{5-a}{2}.$$

Условие $x_1⩾-a\iff \frac{5-a}{2}⩾-a\iff 5-a⩾-2a\iff a⩾-5\text{.}$

2. При $x<-a\text{:}$

$$-3(x+a)=a+10-x\Rightarrow -3x-3a=a+10-x\Rightarrow -2x=4a+10\Rightarrow x_2=-2a-5.$$

Условие $x_2<-a\iff -2a-5<-a\iff a>-5\text{.}$

При $a=-5$ корни совпадают: $x_1=x_2=5$ (один корень). При $a>-5$ имеем два различных корня $x_1$ и $x_2\text{.}$ При $a<-5$ корней нет.

Проверка ОДЗ.

1. Корень $x_1=\frac{5-a}{2}$ попадает в ОДЗ, если:

• $x_1<-4\iff \frac{5-a}{2}<-4\iff a>13\text{;}$
• $x_1>22\iff \frac{5-a}{2}>22\iff a<-39$ (несовместимо с $a>-5$).

2. Корень $x_2=-2a-5$ попадает в ОДЗ, если:

• $x_2<-4\iff -2a-5<-4\iff -2a<1\iff a>-0,5\text{;}$
• $x_2>22\iff -2a-5>22\iff -2a>27\iff a<-13,5$ (несовместимо с $a>-5$).

Условие «ровно два корня». Оба корня $x_1$ и $x_2$ должны удовлетворять ОДЗ и быть различными (что выполняется при $a\ne -5$).
Оба попадают в ОДЗ при условии:

$$\{\begin{array}{l}a>13,\\ a>-0,5.\end{array}\iff a>13.$$

При $a=13$ значение $x_1=-4$ не входит в ОДЗ (требуется строгое неравенство), поэтому остается только один корень — этот случай не подходит.

Ответ: $a\in (13;+\infty )\text{.}$