Задача №16694

В июле 2025 года планируется взять кредит на десять лет. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг будет возрастать на $30\%$ по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
— в июле 2026, 2027, 2028, 2029 и 2030 годов долг должен быть на какую-то одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
— в июле 2030 года долг должен составить 500 тыс. рублей;
— в июле 2031, 2032, 2033, 2034 и 2035 годов долг должен быть на другую одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
— к июлю 2035 года долг должен быть полностью погашен.

Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет равна 2080 тыс. рублей. Сколько рублей составит платёж в 2026 году?

Пусть $S$ (тыс. руб.) — сумма кредита (июль 2025 года). Долг на июль года $k$ обозначим $D_k\text{.}$ По условию $D_{2025}=S\text{,}$ $D_{2030}=500\text{,}$ $D_{2035}=0\text{.}$

Первый период (2026–2030 гг.): долг убывает каждый год на одну и ту же величину ${\Delta }_1\text{.}$ Из $D_{2030}=D_{2025}-5{\Delta }_1\text{:}$

$${\Delta }_1=\frac{S-500}{5}.$$

Второй период (2031–2035 гг.): долг убывает на ${\Delta }_2\text{.}$ Из $D_{2035}=D_{2030}-5{\Delta }_2=0\text{:}$

$${\Delta }_2=100.$$

Платёж в году $k$ (январь — рост на $30\%\text{,}$ февраль–июнь — выплата): $P_k=1,3D_{k-1}-D_k\text{.}$

Сумма платежей за 10 лет:

$$\sum _{k=2026}^{2035}{P}_k=1,3D_{2025}+0,3\sum _{k=2026}^{2034}{D}_k-D_{2035}.$$

Вычислим ${\sum }_{k=2026}^{2034}{D}_k\text{:}$

1. $D_{2026}+\cdots +D_{2030}\text{:}$

$$\frac{(4S+500)+(3S+1000)+(2S+1500)+(S+2000)+2500}{5}=\frac{10S+7500}{5}=2S+1500;$$

2. $D_{2031}+D_{2032}+D_{2033}+D_{2034}=400+300+200+100=1000\text{.}$

Итого:

$$\sum =2S+1500+1000=2S+2500.$$

Уравнение для общей суммы платежей $2080$ тыс. руб. (при $D_{2035}=0$):

$$1,3S+0,3(2S+2500)=2080\iff 1,9S+750=2080\iff 1,9S=1330\iff S=700.$$

Тогда ${\Delta }_1=\frac{700-500}{5}=40\text{,}$ следовательно, $D_{2026}=700-40=660\text{.}$

Платёж в 2026 году:

$$P_{2026}=1,3\cdot 700-660=910-660=250\text{ тыс. руб.}$$

Что составляет $250000$ рублей.

Ответ: 250,000 рублей.