Задача №16691

а) Решите уравнение
$27^{{\mathrm{tg}}^{2}x}+81\cdot 27^{1-1/{\cos }^{2}x}=30\text{.}$

б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку
$\left[\frac{3\pi }{2};3\pi \right]\text{.}$

а) Рассмотрим уравнение

$$27^{{\mathrm{tg}}^{2}x}+81\cdot 27^{1-1/{\cos }^{2}x}=30.$$

Заметим, что $1-\frac{1}{{\cos }^{2}x}=-{\mathrm{tg}}^{2}x\text{.}$ Тогда $27^{1-1/{\cos }^{2}x}=27^{-{\mathrm{tg}}^{2}x}\text{.}$

Пусть $t=27^{{\mathrm{tg}}^{2}x}\text{,}$ где $t⩾1\text{.}$ Уравнение примет вид:

$$t+\frac{81}{t}=30\iff t^2-30t+81=0.$$

Найдём дискриминант:

$$D=900-324=576,\sqrt{D}=24.$$

Корни квадратного уравнения: $t_1=27\text{,}$ $t_2=3\text{.}$

1. Если $27^{{\mathrm{tg}}^{2}x}=27\text{,}$ то ${\mathrm{tg}}^{2}x=1\text{,}$ откуда $\mathrm{tg}x=\pm 1\text{.}$
Тогда $x=\frac{\pi }{4}+\frac{\pi n}{2},n\in \mathbb{Z}\text{.}$

2. Если $27^{{\mathrm{tg}}^{2}x}=3\text{,}$ то $27^{{\mathrm{tg}}^{2}x}=27^{1/3}\text{,}$ откуда ${\mathrm{tg}}^{2}x=\frac{1}{3}\text{.}$
Тогда $\mathrm{tg}x=\pm \frac{1}{\sqrt{3}}\text{,}$ значит $x=\pm \frac{\pi }{6}+\pi n,n\in \mathbb{Z}\text{.}$

Условие $\cos x\ne 0$ выполняется для всех найденных значений.

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[\frac{3\pi }{2};3\pi \right]\text{.}$

Для серии $x=\frac{\pi }{4}+\frac{\pi n}{2},n\in \mathbb{Z}\text{:}$
— при $n=3\text{:}$ $x=\frac{7\pi }{4}\text{;}$
— при $n=4\text{:}$ $x=\frac{9\pi }{4}\text{;}$
— при $n=5\text{:}$ $x=\frac{11\pi }{4}\text{.}$

Для серии $x=\frac{\pi }{6}+\pi n,n\in \mathbb{Z}\text{:}$
— при $n=2\text{:}$ $x=\frac{13\pi }{6}\text{.}$

Для серии $x=-\frac{\pi }{6}+\pi n,n\in \mathbb{Z}\text{:}$
— при $n=2\text{:}$ $x=\frac{11\pi }{6}\text{;}$
— при $n=3\text{:}$ $x=\frac{17\pi }{6}\text{.}$

Ответ:

а) $\frac{\pi }{4}+\frac{\pi n}{2};\pm \frac{\pi }{6}+\pi n,n\in \mathbb{Z}$

б) $\frac{7\pi }{4};\frac{11\pi }{6};\frac{13\pi }{6};\frac{9\pi }{4};\frac{11\pi }{4};\frac{17\pi }{6}$