Есть жёлтые и белые карточки, всего — 100 штук. На каждой написано натуральное число, среднее арифметическое всех чисел равно 32. Все числа на жёлтых карточках разные. При этом любое число на жёлтой карточке больше, чем любое число на белой. Все числа на жёлтых карточках увеличили в 3 раза, после чего среднее арифметическое всех чисел стало равно 94,6. а) Может ли быть ровно 70 жёлтых карточек? б) Могут ли все числа на белых карточках быть различными? в) Какое наибольшее количество жёлтых карточек может быть?

Пусть Y — количество жёлтых карточек, а W = 100 - Y — количество белых. Сумма всех чисел изначально равна 32 * 100 = 3200 . После увеличения чисел на жёлтых карточках в 3 раза прирост суммы составил 2S_Y , где S_Y — сумма чисел на жёлтых карточках. Новая сумма всех чисел равна 94,6 * 100 = 9460 . Прирост суммы равен: 9460 - 3200 = 6260. Тогда: 2S_Y = 6260 => S_Y = 3130, S_W = 3200 - 3130 = 70. Числа на жёлтых карточках — натуральные и различные; на белых — натуральные (не обязательно различные). Наименьшее жёлтое число больше наибольшего белого числа M . а) Пусть Y = 70 . Тогда W = 30 и S_W = 70 . Возьмём, например, такой набор белых карточек: 5 карточек с числом 9 и 25 карточек с числом 1. Сумма равна 5 * 9 + 25 = 70 . При этом M = 9 . Жёлтые карточки: 70 различных натуральных чисел, каждое M + 1 = 10 . Минимальная сумма таких чисел: 10 + 11 + + 79 = (10 + 79)/(2) * 70 = 3115. Не хватает 3130 - 3115 = 15 . Заменим число 79 на 79 + 15 = 94 . Получаем на жёлтых карточках числа 10; 11; ; 78; 94 . Все числа различны, их сумма равна 3130, и каждое больше 9. Условие выполняется. б) Если все числа на белых карточках различны, то их минимальная сумма при количестве W равна: (W(W + 1))/(2) 70. Это неравенство верно при W 11 . Тогда количество жёлтых карточек Y = 100 - W 89 . Минимальная сумма 89 различных натуральных чисел (даже без учёта условия превосходства над белыми) равна: (89 * 90)/(2) = 4005. Так как 4005 > 3130 , это невозможно. Значит, числа на белых карточках не могут быть все различными. в) Ищем наибольшее Y . Минимальная сумма Y различных натуральных чисел, каждое из которых M + 1 , равна: S_Y^() = (M + 1) + (M + 2) + + (M + Y) = YM + (Y(Y + 1))/(2) 3130. Проверим Y = 76 (тогда W = 24 ): 76M + (76 * 77)/(2) 3130 => 76M + 2926 3130 => 76M 204 => M 2. При M 2 максимальная сумма 24 белых карточек равна 24 * 2 = 48 , что меньше 70. Противоречие. Проверим Y = 75 (тогда W = 25 ): 75M + (75 * 76)/(2) 3130 => 75M + 2850 3130 => 75M 280 => M 3. При M = 3 сумма 25 белых карточек может быть равна 70. Например, возьмём 20 карточек с числом 3 и 5 карточек с числом 2: 20 * 3 + 5 * 2 = 70 . Минимальная сумма 75 различных натуральных чисел, каждое из которых 4 , равна: 4 + 5 + + 78 = (4 + 78)/(2) * 75 = 3075. Разница составляет 3130 - 3075 = 55 . Заменим 78 на 78 + 55 = 133 . Набор жёлтых карточек 4; 5; ; 77; 133 удовлетворяет условию. Ответ: а) Да. б) Нет. в) 75.

А) Да; Б) Нет; В) 75