Задача №16687

Решите неравенство:
${\log }_{2x^2-x}(|x+2|-|x|)>{\log }_{2x^2-x}\sqrt{2-x^2}\text{.}$

Запишем ОДЗ:

Решая по очереди:

1) $|x+2|-|x|>0\iff (x+2{)}^2>x^2\iff 4x+4>0\iff x>-1\text{.}$

2) $2-x^2>0\iff -\sqrt{2}<x<\sqrt{2}\text{.}$

3) $2x^2-x=x(2x-1)>0\iff x<0$ или $x>0,5\text{.}$

4) $2x^2-x\ne 1\iff 2x^2-x-1\ne 0\iff x\ne -0,5,x\ne 1\text{.}$

Пересечение: $x\in (-1;-0,5)\cup (-0,5;0)\cup (0,5;1)\cup (1;\sqrt{2})\text{.}$

Так как $x>-1\text{,}$ имеем $|x+2|=x+2\text{.}$ Применим метод рационализации (переход от ${\log }_{a}u>{\log }_{a}v$ к $(a-1)(u-v)>0$ в области определения):

Случай (а): $x\in (-1;-0,5)\cup (-0,5;0)\text{,}$ $|x|=-x\text{.}$ Неравенство:

Так как $x-1<0\text{,}$ делим на отрицательное и меняем знак:

При $x>-1$ выражение $2x+2>0\text{.}$ Возводим в квадрат:

Корни квадратного трёхчлена $5x^2+8x+2=0\text{:}$ $x=\frac{-4\pm \sqrt{6}}{5}\text{,}$ т.е. $x=-\frac{4+\sqrt{6}}{5}$ и $x=\frac{\sqrt{6}-4}{5}\text{.}$ Таким образом:

При $x>-1\text{:}$ $x+\frac{4+\sqrt{6}}{5}>0$ (так как $\frac{4+\sqrt{6}}{5}>1$). Сравним $\frac{\sqrt{6}-4}{5}$ и $-\frac{1}{2}\text{:}$

что верно. Значит остаётся $(x+0,5)\left(x-\frac{\sqrt{6}-4}{5}\right)<0\text{,}$ откуда $-\frac{1}{2}<x<\frac{\sqrt{6}-4}{5}\text{.}$

Случай (б): $x\in (0,5;1)\cup (1;\sqrt{2})\text{,}$ $|x|=x\text{.}$ Неравенство:

Так как $x>0,5\text{,}$ $x+0,5>1>0\text{.}$ Также $2-\sqrt{2-x^2}>0$ (так как $\sqrt{2-x^2}<\sqrt{2}<2$). Значит знак определяется множителем $(x-1)\text{,}$ и $x-1>0\iff x>1\text{.}$ С учётом ОДЗ: $x\in (1;\sqrt{2})\text{.}$

Объединяя ответы обоих случаев:

Ответ: $x\in \left(-\frac{1}{2};\frac{\sqrt{6}-4}{5}\right)\cup \left(1;\sqrt{2}\right)\text{.}$