Решите неравенство: _(2x^2 - x)(|x + 2| - |x|) > _(2x^2 - x) sqrt(2 - x^2).

Запишем ОДЗ: cases |x + 2| - |x| > 0, 2 - x^2 > 0, 2x^2 - x > 0, 2x^2 - x != 1. cases Решая по очереди: 1) |x + 2| - |x| > 0 <=> (x + 2)^2 > x^2 <=> 4x + 4 > 0 <=> x > -1. 2) 2 - x^2 > 0 <=> -sqrt(2) < x < sqrt(2). 3) 2x^2 - x = x(2x - 1) > 0 <=> x < 0 или x > 0,5. 4) 2x^2 - x != 1 <=> 2x^2 - x - 1 != 0 <=> x != -0,5,x != 1. Пересечение: x in (-1; -0,5) U (-0,5; 0) U (0,5; 1) U (1; sqrt(2)). Так как x > -1, имеем |x + 2| = x + 2. Применим метод рационализации (переход от _a u > _a v к (a - 1)(u - v) > 0 в области определения): (2x^2 - x - 1)(x + 2 - |x| - sqrt(2 - x^2)) > 0 <=> (x + 0,5)(x - 1)(x + 2 - |x| - sqrt(2 - x^2)) > 0. Случай (а): x in (-1; -0,5) U (-0,5; 0), |x| = -x. Неравенство: (x + 0,5)(x - 1)(2x + 2 - sqrt(2 - x^2)) > 0. Так как x - 1 < 0, делим на отрицательное и меняем знак: (x + 0,5)(2x + 2 - sqrt(2 - x^2)) < 0. При x > -1 выражение 2x + 2 > 0. Возводим в квадрат: (x + 0,5)((2x + 2)^2 - (2 - x^2)) < 0 <=> (x + 0,5)(5x^2 + 8x + 2) < 0. Корни квадратного трёхчлена 5x^2 + 8x + 2 = 0: x = (-4 +- sqrt(6))/(5), т.е. x = -(4 + sqrt(6))/(5) и x = (sqrt(6) - 4)/(5). Таким образом: 5(x + 0,5)(x + (4 + sqrt(6))/(5))(x - (sqrt(6) - 4)/(5)) < 0. При x > -1: x + (4 + sqrt(6))/(5) > 0 (так как (4 + sqrt(6))/(5) > 1). Сравним (sqrt(6) - 4)/(5) и -(1)/(2): (sqrt(6) - 4)/(5) > -(1)/(2) <=> 2sqrt(6) > 3, что верно. Значит остаётся (x + 0,5)(x - (sqrt(6) - 4)/(5)) < 0, откуда -(1)/(2) < x < (sqrt(6) - 4)/(5). Случай (б): x in (0,5; 1) U (1; sqrt(2)), |x| = x. Неравенство: (x + 0,5)(x - 1)(2 - sqrt(2 - x^2)) > 0. Так как x > 0,5, x + 0,5 > 1 > 0. Также 2 - sqrt(2 - x^2) > 0 (так как sqrt(2 - x^2) < sqrt(2) < 2). Значит знак определяется множителем (x - 1), и x - 1 > 0 <=> x > 1. С учётом ОДЗ: x in (1; sqrt(2)). Объединяя ответы обоих случаев: Ответ: x in (-(1)/(2);(sqrt(6) - 4)/(5)) U (1;sqrt(2)).

$x \in \left(-\dfrac{1}{2};\; \dfrac{\sqrt{6} - 4}{5}\right) \cup \left(1;\; \sqrt{2}\right)$.