Найдите все значения параметра a , при которых система уравнений cases 2x + 2(a-1)y = a - 2, 2|x+1| + ay = 2 cases имеет единственное решение.

Заменим t = x + 1 . Система принимает вид: cases t + (a-1)y = (a)/(2), 2|t| + ay = 2. cases 1. Случай 1: t 0 (т. е. x -1 ). Из первого уравнения t = (a)/(2) - (a-1)y . Подставим во второе: 2( (a)/(2) - (a-1)y ) + ay = 2 => a + (2-a)y = 2 => (2-a)y = 2 - a. - Если a != 2 : y = 1 , t = (a)/(2) - (a-1) = (2-a)/(2) . Условие t 0 <=> a 2 . - Если a = 2 : тождество 0 = 0 — бесконечно много решений вида t = 1 - y , где y 1 . 2. Случай 2: t < 0 (т. е. x < -1 ). Аналогично, подставляя во второе уравнение -2t + ay = 2 : -a + 2(a-1)y + ay = 2 => (3a-2)y = a + 2. - Если a = (2)/(3) : 0 * y = (8)/(3) — нет решения. - Если a != (2)/(3) : y = (a+2)/(3a-2) , t = (a)/(2) - (a-1) * (a+2)/(3a-2) . После приведения к общему знаменателю 2(3a-2) : t = (a(3a-2) - 2(a-1)(a+2))/(2(3a-2)) = (3a^2 - 2a - 2(a^2 + a - 2))/(2(3a-2)) = (a^2 - 4a + 4)/(2(3a-2)) = ((a-2)^2)/(2(3a-2)). Числитель (a-2)^2 0 , причём (a-2)^2 > 0 при a != 2 . Знак t совпадает со знаком 3a - 2 . Условие t < 0 выполнено только при 3a - 2 < 0 , т. е. a < (2)/(3) . **Подсчёт решений:** | a | Случай 1 | Случай 2 | Итого | |---|---|---|---| | a < (2)/(3) | 1 решение | 1 решение | 2 | | a = (2)/(3) | 1 решение | нет | 1 | | (2)/(3) < a < 2 | 1 решение | нет | 1 | | a = 2 | inf | нет | inf | | a > 2 | нет | нет | 0 | Единственное решение система имеет при a in [ (2)/(3);2 ) . Ответ: a in [ (2)/(3);2 ) .

a ∈ [2/3; 2)