Задача №16686

Найдите все значения параметра $a\text{,}$ при которых система уравнений

$$\{\begin{array}{l}2x+2(a-1)y=a-2,\\ 2|x+1|+ay=2\end{array}$$

имеет единственное решение.

Заменим $t=x+1\text{.}$ Система принимает вид:

$$\{\begin{array}{l}t+(a-1)y=\frac{a}{2},\\ 2|t|+ay=2.\end{array}$$

1. Случай 1: $t⩾0$ (т. е. $x⩾-1$). Из первого уравнения $t=\frac{a}{2}-(a-1)y\text{.}$ Подставим во второе:

$$2\left(\frac{a}{2}-(a-1)y\right)+ay=2\Rightarrow a+(2-a)y=2\Rightarrow (2-a)y=2-a.$$

• Если $a\ne 2\text{:}$ $y=1\text{,}$ $t=\frac{a}{2}-(a-1)=\frac{2-a}{2}\text{.}$ Условие $t⩾0\iff a⩽2\text{.}$
• Если $a=2\text{:}$ тождество $0=0$ — бесконечно много решений вида $t=1-y\text{,}$ где $y⩽1\text{.}$

2. Случай 2: $t<0$ (т. е. $x<-1$). Аналогично, подставляя во второе уравнение $-2t+ay=2\text{:}$

$$-a+2(a-1)y+ay=2\Rightarrow (3a-2)y=a+2.$$

• Если $a=\frac{2}{3}\text{:}$ $0\cdot y=\frac{8}{3}$ — нет решения.
• Если $a\ne \frac{2}{3}\text{:}$ $y=\frac{a+2}{3a-2}\text{,}$ $t=\frac{a}{2}-(a-1)\cdot \frac{a+2}{3a-2}\text{.}$ После приведения к общему знаменателю $2(3a-2)\text{:}$

$$t=\frac{a(3a-2)-2(a-1)(a+2)}{2(3a-2)}=\frac{3a^2-2a-2(a^2+a-2)}{2(3a-2)}=\frac{a^2-4a+4}{2(3a-2)}=\frac{(a-2{)}^2}{2(3a-2)}.$$

Числитель $(a-2{)}^2⩾0\text{,}$ причём $(a-2{)}^2>0$ при $a\ne 2\text{.}$ Знак $t$ совпадает со знаком $3a-2\text{.}$ Условие $t<0$ выполнено только при $3a-2<0\text{,}$ т. е. $a<\frac{2}{3}\text{.}$

Подсчёт решений:

Единственное решение система имеет при $a\in \left[\frac{2}{3};2\right)\text{.}$

Ответ: $a\in \left[\frac{2}{3};2\right)\text{.}$