Задача №16685

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 8 млн рублей на срок 10 лет. Условия возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на $r\%$ по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь необходимо выплачивать часть долга так, чтобы на начало июля каждого года долг уменьшался на одну и ту же сумму по сравнению с предыдущим июлем.

Найдите наименьшую возможную ставку $r\text{,}$ если известно, что последний платёж будет не менее 0,92 млн рублей.

Пусть $q=1+\frac{r}{100}\text{.}$ Начальный долг (июль 0-го года): $D_0=8$ млн рублей.

По условию долг в июле $k$-го года равен $D_k=8-0,8k$ (уменьшается на одну и ту же сумму $\frac{8}{10}=0,8$ млн рублей).

Выплата в году $k\text{:}$

1. В январе долг становится $D_{k-1}\cdot q\text{.}$
2. К июлю выплата:

$$X_k=D_{k-1}\cdot q-D_k=(8-0,8(k-1))\cdot q-(8-0,8k).$$

Последний (десятый) платёж при $k=10\text{,}$ $D_9=8-0,8\cdot 9=0,8\text{,}$ $D_{10}=0\text{:}$

$$X_{10}=0,8\cdot q-0=0,8q.$$

По условию $X_{10}⩾0,92\text{:}$

$$0,8q⩾0,92\iff q⩾1,15\iff r⩾15.$$

Наименьшее значение ставки: $r=15\text{.}$

Ответ: 15