В правильной треугольной пирамиде ABCS с вершиной S боковые рёбра наклонены к основанию под углом (8) . Точки M и K — середины рёбер AS и BS соответственно. а) Докажите, что плоскости AKC и BMC перпендикулярны. б) Найдите объём пирамиды MKPC , где P — точка пересечения BM и AK , если объём пирамиды ABCS равен 12 .

В правильной треугольной пирамиде ABCS боковые рёбра наклонены к основанию под углом alpha = (8) , то есть = sqrt(8) = 2sqrt(2) . Пусть O — центр (центроид) основания ABC , R = OA — радиус описанной около основания окружности. Высота пирамиды h = SO удовлетворяет условию = (SO)/(OA) = (h)/(R) = sqrt(8) =>h = Rsqrt(8) = 2Rsqrt(2). Для удобства возьмём R = 1 . Тогда сторона основания a = Rsqrt(3) = sqrt(3) , а h = 2sqrt(2) . Координаты вершин: 1. A(1;0;0) ; 2. B(-(1)/(2);(sqrt(3))/(2);0) ; 3. C(-(1)/(2);-(sqrt(3))/(2);0) ; 4. S(0;0;2sqrt(2)) . Середины рёбер: M = (A+S)/(2) = ((1)/(2);0;sqrt(2)), K = (B+S)/(2) = (-(1)/(4);(sqrt(3))/(4);sqrt(2)). а) Перпендикулярность плоскостей AKC и BMC . Найдём нормаль к плоскости AKC . Векторы: AK = K - A = (-(5)/(4);(sqrt(3))/(4);sqrt(2)), AC = C - A = (-(3)/(2);-(sqrt(3))/(2);0). n_1 = AK * AC = ((sqrt(6))/(2);-(3sqrt(2))/(2);sqrt(3)). Проверка покомпонентно: 1. координата i : (sqrt(3))/(4)* 0 - sqrt(2)*(-(sqrt(3))/(2)) = (sqrt(6))/(2) ; 2. координата j : -((-(5)/(4))* 0 - sqrt(2)*(-(3)/(2))) = -(3sqrt(2))/(2) ; 3. координата k : (-(5)/(4))(-(sqrt(3))/(2)) - (sqrt(3))/(4)(-(3)/(2)) = (5sqrt(3))/(8) + (3sqrt(3))/(8) = sqrt(3) . Аналогично для плоскости BMC : BM = M - B = (1;-(sqrt(3))/(2);sqrt(2)), BC = C - B = (0;-sqrt(3);0). n_2 = BM * BC = (sqrt(6);0;-sqrt(3)). Проверка: 1. координата i : (-(sqrt(3))/(2))* 0 - sqrt(2)*(-sqrt(3)) = sqrt(6) ; 2. координата j : -(1* 0 - sqrt(2)* 0) = 0 ; 3. координата k : 1*(-sqrt(3)) - (-(sqrt(3))/(2))* 0 = -sqrt(3) . Скалярное произведение нормалей: n_1*n_2 = (sqrt(6))/(2)*sqrt(6) + (-(3sqrt(2))/(2))* 0 + sqrt(3)*(-sqrt(3)) = 3 + 0 - 3 = 0. Поскольку n_1_2 , плоскости AKC и BMC перпендикулярны, что и требовалось доказать. б) Объём пирамиды MKPC . Положение точки P . В треугольнике ABS точки M и K — середины боковых сторон AS и BS , поэтому отрезки BM и AK — это медианы ABS (медиана из B к стороне AS и медиана из A к стороне BS ). Они пересекаются в центроиде ABS : P = (A+B+S)/(3) = ((1)/(6);(sqrt(3))/(6);(2sqrt(2))/(3)). Объём тетраэдра MKPC вычислим через смешанное произведение векторов из вершины C : CM = (1;(sqrt(3))/(2);sqrt(2)), CK = ((1)/(4);(3sqrt(3))/(4);sqrt(2)), CP = ((2)/(3);(2sqrt(3))/(3);(2sqrt(2))/(3)). Детерминант (разложение по первой строке): = 1*((3sqrt(3))/(4)*(2sqrt(2))/(3) - sqrt(2)*(2sqrt(3))/(3)) - (sqrt(3))/(2)*((1)/(4)*(2sqrt(2))/(3) - sqrt(2)*(2)/(3)) + sqrt(2)*((1)/(4)*(2sqrt(3))/(3) - (3sqrt(3))/(4)*(2)/(3)). Считаем каждый минор: 1. (3sqrt(3))/(4)*(2sqrt(2))/(3) - sqrt(2)*(2sqrt(3))/(3) = (sqrt(6))/(2) - (2sqrt(6))/(3) = -(sqrt(6))/(6) ; 2. (1)/(4)*(2sqrt(2))/(3) - sqrt(2)*(2)/(3) = (sqrt(2))/(6) - (2sqrt(2))/(3) = -(sqrt(2))/(2) ; 3. (1)/(4)*(2sqrt(3))/(3) - (3sqrt(3))/(4)*(2)/(3) = (sqrt(3))/(6) - (sqrt(3))/(2) = -(sqrt(3))/(3) . Подставляем: = 1*(-(sqrt(6))/(6)) - (sqrt(3))/(2)*(-(sqrt(2))/(2)) + sqrt(2)*(-(sqrt(3))/(3)) = -(sqrt(6))/(6) + (sqrt(6))/(4) - (sqrt(6))/(3) = (-2+3-4)/(12)sqrt(6) = -(sqrt(6))/(4). Объём: V_(MKPC) = (1)/(6)|-(sqrt(6))/(4)| = (sqrt(6))/(24). Объём всей пирамиды (в той же координатной модели): V_(ABCS) = (1)/(3)* S_(ABC)* h = (1)/(3)*(sqrt(3))/(4)* 3* 2sqrt(2) = (sqrt(6))/(2). Отношение объёмов (оно не зависит от выбора R ): (V_(MKPC))/(V_(ABCS)) = (sqrt(6)/24)/(sqrt(6)/2) = (1)/(12). По условию V_(ABCS) = 12 , поэтому V_(MKPC) = 12*(1)/(12) = 1. Ответ: а) плоскости AKC и BMC перпендикулярны; б) 1 .

1