Объём треугольной пирамиды SABC, являющейся частью правильной шестиугольной пирамиды SABCDEF, равен 1. Найдите угол (в градусах) между плоскостью ACS и плоскостью основания, если сторона основания равна [3]24.

Дана правильная шестиугольная пирамида SABCDEF со стороной основания a = [3]24. Треугольная пирамида SABC — её часть, образованная тремя последовательными вершинами основания и вершиной S. V_(SABC) = 1. Шаг 1. Площадь треугольника ABC. В правильном шестиугольнике три последовательные вершины A, B, C образуют равнобедренный треугольник с AB = BC = a и ABC = 120^ (внутренний угол шестиугольника). S_(ABC) = (1)/(2) * a * a * sin 120^ = (a^2sqrt(3))/(4). Шаг 2. Высота пирамиды. Пусть O — центр шестиугольника, h = SO — высота пирамиды. Объём пирамиды SABC: V_(SABC) = (1)/(3) * S_(ABC) * h = (1)/(3) * (a^2sqrt(3))/(4) * h = (a^2 h sqrt(3))/(12) = 1. Отсюда h = (12)/(a^2sqrt(3)) = (4sqrt(3))/(a^2). Шаг 3. Линейный угол двугранного угла. Пусть M — середина AC. В равнобедренном треугольнике OAC (OA = OC = a, AOC = 2 * 60^ = 120^) точка M — основание перпендикуляра из O на AC. Из прямоугольного треугольника OAM с OAM = 30^: OM = OA * cos 60^ = (a)/(2). Также SM AC (треугольник SAC равнобедренный: SA = SC). Значит, SMO — линейный угол двугранного угла между плоскостью ACS и плоскостью основания. Из прямоугольного треугольника SOM с прямым углом при O: tg SMO = (SO)/(OM) = (h)/(a/2) = (2h)/(a) = (8sqrt(3))/(a^3). Подставляем a^3 = 24: tg SMO = (8sqrt(3))/(24) = (sqrt(3))/(3) = (1)/(sqrt(3)), SMO = 30^. Ответ: 30.

30