Задача №16683

Объём треугольной пирамиды $SABC\text{,}$ являющейся частью правильной шестиугольной пирамиды $SABCDEF\text{,}$ равен 1. Найдите угол (в градусах) между плоскостью $ACS$ и плоскостью основания, если сторона основания равна $\sqrt[3]{24}\text{.}$

Дана правильная шестиугольная пирамида $SABCDEF$ со стороной основания $a=\sqrt[3]{24}\text{.}$ Треугольная пирамида $SABC$ — её часть, образованная тремя последовательными вершинами основания и вершиной $S\text{.}$ $V_{SABC}=1\text{.}$

Шаг 1. Площадь треугольника $ABC\text{.}$

В правильном шестиугольнике три последовательные вершины $A\text{,}$ $B\text{,}$ $C$ образуют равнобедренный треугольник с $AB=BC=a$ и $\angle ABC=120^{\circ }$ (внутренний угол шестиугольника).

Шаг 2. Высота пирамиды.

Пусть $O$ — центр шестиугольника, $h=SO$ — высота пирамиды. Объём пирамиды $SABC\text{:}$

Отсюда

Шаг 3. Линейный угол двугранного угла.

Пусть $M$ — середина $AC\text{.}$ В равнобедренном треугольнике $OAC$ ($OA=OC=a\text{,}$ $\angle AOC=2\cdot 60^{\circ }=120^{\circ }$) точка $M$ — основание перпендикуляра из $O$ на $AC\text{.}$ Из прямоугольного треугольника $OAM$ с $\angle OAM=30^{\circ }\text{:}$
$OM=OA\cdot \cos 60^{\circ }=\frac{a}{2}\text{.}$

Также $SM\perp AC$ (треугольник $SAC$ равнобедренный: $SA=SC$). Значит, $\angle SMO$ — линейный угол двугранного угла между плоскостью $ACS$ и плоскостью основания.

Из прямоугольного треугольника $SOM$ с прямым углом при $O\text{:}$

Подставляем $a^3=24\text{:}$

Ответ: 30.