Задача №16682

Найдите точку максимума функции $y=|x{|}^3-108|x|+11\text{.}$

$y=|x{|}^3-108|x|+11\text{.}$

Шаг 1. Замена. Пусть $u=|x|⩾0\text{.}$ Тогда $f(u)=u^3-108u+11\text{.}$

На $u⩾0\text{:}$ $f^{\prime }(u)<0$ при $0⩽u<6$ и $f^{\prime }(u)>0$ при $u>6\text{.}$ То есть $f$ убывает на $[0;6]$ и возрастает на $[6;+\infty )\text{.}$

Шаг 2. Поведение исходной функции $y(x)\text{.}$

• При $x=0\text{:}$ $y(0)=11\text{;}$
• На $x>0\text{:}$ $|x|=x\text{,}$ $y=x^3-108x+11\text{,}$ $y^{\prime }(x)=3x^2-108\text{.}$ На $(0;6)$ функция убывает, на $(6;+\infty )$ — возрастает; в $x=6$ — локальный минимум.
• На $x<0\text{:}$ $|x|=-x\text{,}$ $y=-x^3+108x+11\text{,}$ $y^{\prime }(x)=-3x^2+108\text{.}$ На $(-6;0)$ проверим знак: при $x\in (-6;0)$ $|x|<6\text{,}$ $y^{\prime }(x)=-3x^2+108>0\text{,}$ значит $y$ возрастает. На $(-\infty ;-6)$ $y^{\prime }(x)<0\text{,}$ функция убывает. В $x=-6$ — локальный минимум.

В точке $x=0$ производная имеет разрыв: $y^{\prime }(0^{+})=-108\text{,}$ $y^{\prime }(0^{-})=108\text{.}$ Слева от нуля функция возрастает, справа — убывает, значит $x=0$ — точка локального (и глобального максимума на отрезке между двумя минимумами).

Шаг 3. Сравнение с минимумами.

$y(0)=11\text{.}$ $y(\pm 6)=216-648+11=-421\text{.}$ Значит $x=0$ — точка максимума.

Ответ: $0\text{.}$