Найдите точку максимума функции y=|x|^3-108|x|+11 .

y = |x|^3 - 108|x| + 11 . Шаг 1. Замена. Пусть u = |x| 0 . Тогда f(u) = u^3 - 108u + 11 . f'(u) = 3u^2 - 108 = 3(u - 6)(u + 6). На u 0 : f'(u) < 0 при 0 u < 6 и f'(u) > 0 при u > 6 . То есть f убывает на [0;6] и возрастает на [6;+inf) . Шаг 2. Поведение исходной функции y(x) . - При x = 0 : y(0) = 11 ; - На x > 0 : |x| = x , y = x^3 - 108x + 11 , y'(x) = 3x^2 - 108 . На (0;6) функция убывает, на (6;+inf) — возрастает; в x = 6 — локальный минимум. - На x < 0 : |x| = -x , y = -x^3 + 108x + 11 , y'(x) = -3x^2 + 108 . На (-6;0) проверим знак: при x in (-6;0) |x| < 6 , y'(x) = -3x^2 + 108 > 0 , значит y возрастает. На (-inf;-6) y'(x) < 0 , функция убывает. В x = -6 — локальный минимум. В точке x = 0 производная имеет разрыв: y'(0^+) = -108 , y'(0^-) = 108 . Слева от нуля функция возрастает, справа — убывает, значит x = 0 — точка локального (и глобального максимума на отрезке между двумя минимумами). Шаг 3. Сравнение с минимумами. y(0) = 11 . y(+- 6) = 216 - 648 + 11 = -421 . Значит x = 0 — точка максимума. Ответ: 0 .

0