Задача №16681

а) Решите уравнение
$2|\mathrm{ctg}x|\cdot \sqrt{{\sin }^{2}x}=5-\frac{2}{|\cos x|}\text{.}$

б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-\pi ;\frac{\pi }{2}\right]\text{.}$

а) Так как $\sqrt{{\sin }^{2}x}=|\sin x|\text{,}$ уравнение приводится к виду:

$$2|\mathrm{ctg}x|\cdot |\sin x|=5-\frac{2}{|\cos x|}\iff \{\begin{array}{l}2|\cos x|=5-\frac{2}{|\cos x|},\\ |\sin x|\ne 0\end{array}$$

при $\sin x\ne 0$ имеем $|\mathrm{ctg}x|\cdot |\sin x|=|\cos x|\text{.}$

Пусть $|\cos x|=t\text{,}$ $0⩽t⩽1\text{.}$ Получаем $2t=5-\frac{2}{t}\text{,}$ что при $t\ne 0$ равносильно

$$2t^2-5t+2=0.$$

Корни: $t=\frac{1}{2}$ или $t=2\text{.}$ Подходит только $t=\frac{1}{2}$ (так как $0⩽t⩽1$).

Если $|\cos x|=\frac{1}{2}\text{,}$ то $|\sin x|=\frac{\sqrt{3}}{2}\ne 0$ — условие $|\sin x|\ne 0$ выполнено. Итак, $\cos x=\pm \frac{1}{2}\text{,}$ откуда

$$x=\pm \frac{\pi }{3}+\pi k,k\in \mathbb{Z}.$$

б) Отбираем корни на отрезке $\left[-\pi ;\frac{\pi }{2}\right]\text{.}$ На числовой окружности это $-\pi +\frac{\pi }{3}=-\frac{2\pi }{3}\text{,}$ $-\frac{\pi }{3}$ и $\frac{\pi }{3}\text{.}$

Ответ:

а) $\pm \frac{\pi }{3}+\pi k\text{,}$ $k\in \mathbb{Z}$

б) $-\frac{2\pi }{3}\text{,}$ $-\frac{\pi }{3}\text{,}$ $\frac{\pi }{3}$