Прямая y = -2x + 4 является касательной к графику функции y = x^3 - 2x^2 - x + 4 . Найдите ординату точки касания.

Пусть f(x) = x^3 - 2x^2 - x + 4 . Условие касания: значения и угловые коэффициенты совпадают, т. е. f(x_0) = -2 x_0 + 4 и f'(x_0) = -2 . Из условия на производную: 3 x_0^2 - 4 x_0 - 1 = -2 <=> 3 x_0^2 - 4 x_0 + 1 = 0 <=> x_0 = 1 или x_0 = (1)/(3). Проверим равенство значений в каждой точке. 1. x_0 = 1 : f(1) = 1 - 2 - 1 + 4 = 2, -2 * 1 + 4 = 2. Совпало — это точка касания. 2. x_0 = (1)/(3) : f((1)/(3)) = (1)/(27) - (2)/(9) - (1)/(3) + 4 = (94)/(27), -(2)/(3) + 4 = (10)/(3) = (90)/(27). Не совпало — это лишь равенство производных. Итак, точка касания имеет ординату y = 2 . Ответ: 2.

2