Четырёхугольник ABCD вписан в окружность, причём диаметром окружности является его диагональ AC . Также известно, что в ABCD можно вписать окружность. а) Докажите, что отрезки AC и BD перпендикулярны. б) Найдите радиус вписанной окружности четырёхугольника ABCD , если AC = 34 и BD = 30 .

а) Пусть AB = p , BC = q , CD = r , DA = s . Так как AC — диаметр описанной окружности, углы ABC и ADC опираются на диаметр, поэтому они прямые: ABC = ADC = 90^. По теореме Пифагора для прямоугольных треугольников ABC и ADC : p^2 + q^2 = AC^2 = s^2 + r^2. 1 Четырёхугольник ABCD описан около окружности, значит, суммы его противоположных сторон равны: p + r = q + s. 2 Из уравнения (2) следует: p - s = q - r . Из уравнения (1) следует: p^2 - s^2 = r^2 - q^2 , что можно разложить на множители: (p - s)(p + s) = (r - q)(r + q). Подставим p - s = q - r : (q - r)(p + s) = -(q - r)(q + r). Если q != r , то p + s = -(q + r) , что невозможно, так как длины сторон — положительные числа. Следовательно, q = r , и тогда из уравнения (2) получаем p = s . Таким образом, AB = AD и CB = CD . Это означает, что четырёхугольник ABCD является дельтоидом с осью симметрии AC . Диагонали дельтоида взаимно перпендикулярны, значит, BD AC . б) Дано: AC = 34 , BD = 30 . Пусть P — точка пересечения AC и BD . По свойству симметрии дельтоида точка P является серединой BD , следовательно, BP = PD = 15 . В прямоугольном треугольнике ABC ( B = 90^ ) отрезок BP является высотой, проведённой к гипотенузе AC . По свойствам метрических соотношений в прямоугольном треугольнике: BP^2 = AP * PC, AP + PC = AC = 34. Получаем систему уравнений: cases AP * PC = 225, AP + PC = 34. cases Эти числа являются корнями квадратного уравнения t^2 - 34t + 225 = 0 . Найдём дискриминант: D = 34^2 - 4 * 225 = 1156 - 900 = 256. Тогда корни уравнения: t = (34 +- 16)/(2) => t_1 = 25, t_2 = 9. Пусть AP = 25 и PC = 9 . Тогда найдём длины сторон: AB = sqrt(AP * AC) = sqrt(25 * 34) = 5sqrt(34), BC = sqrt(PC * AC) = sqrt(9 * 34) = 3sqrt(34). Поскольку AD = AB и CD = BC , найдём площадь дельтоида через его диагонали: S = (1)/(2) AC * BD = (1)/(2) * 34 * 30 = 510. Вычислим полупериметр четырёхугольника: p = (1)/(2)(AB + BC + CD + DA) = (1)/(2)(5sqrt(34) + 3sqrt(34) + 3sqrt(34) + 5sqrt(34)) = 8sqrt(34). Радиус вписанной окружности r для описанного многоугольника вычисляется по формуле: r = (S)/(p) = (510)/(8sqrt(34)) = (510sqrt(34))/(8 * 34) = (510sqrt(34))/(272) = (15sqrt(34))/(8). Ответ: (15sqrt(34))/(8) .

15√34/8