Задача №16679

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность, причём диаметром окружности является его диагональ $AC\text{.}$ Также известно, что в $ABCD$ можно вписать окружность.

а) Докажите, что отрезки $AC$ и $BD$ перпендикулярны.
б) Найдите радиус вписанной окружности четырёхугольника $ABCD\text{,}$ если $AC=34$ и $BD=30\text{.}$

а) Пусть $AB=p\text{,}$ $BC=q\text{,}$ $CD=r\text{,}$ $DA=s\text{.}$

Так как $AC$ — диаметр описанной окружности, углы $\angle ABC$ и $\angle ADC$ опираются на диаметр, поэтому они прямые:

$$\angle ABC=\angle ADC=90^{\circ }.$$

По теореме Пифагора для прямоугольных треугольников $ABC$ и $ADC\text{:}$

$$p^2+q^2=A{C}^2=s^2+r^2.\text{\hspace{1em}(1)}$$

Четырёхугольник $ABCD$ описан около окружности, значит, суммы его противоположных сторон равны:

$$p+r=q+s.\text{\hspace{1em}(2)}$$

Из уравнения (2) следует: $p-s=q-r\text{.}$

Из уравнения (1) следует: $p^2-s^2=r^2-q^2\text{,}$ что можно разложить на множители:

$$(p-s)(p+s)=(r-q)(r+q).$$

Подставим $p-s=q-r\text{:}$

$$(q-r)(p+s)=-(q-r)(q+r).$$

Если $q\ne r\text{,}$ то $p+s=-(q+r)\text{,}$ что невозможно, так как длины сторон — положительные числа. Следовательно, $q=r\text{,}$ и тогда из уравнения (2) получаем $p=s\text{.}$

Таким образом, $AB=AD$ и $CB=CD\text{.}$ Это означает, что четырёхугольник $ABCD$ является дельтоидом с осью симметрии $AC\text{.}$ Диагонали дельтоида взаимно перпендикулярны, значит, $BD\perp AC\text{.}$

б) Дано: $AC=34\text{,}$ $BD=30\text{.}$

Пусть $P$ — точка пересечения $AC$ и $BD\text{.}$ По свойству симметрии дельтоида точка $P$ является серединой $BD\text{,}$ следовательно, $BP=PD=15\text{.}$

В прямоугольном треугольнике $ABC$ ($\angle B=90^{\circ }$) отрезок $BP$ является высотой, проведённой к гипотенузе $AC\text{.}$ По свойствам метрических соотношений в прямоугольном треугольнике:

$$B{P}^2=AP\cdot PC,AP+PC=AC=34.$$

Получаем систему уравнений:

$$\{\begin{array}{l}AP\cdot PC=225,\\ AP+PC=34.\end{array}$$

Эти числа являются корнями квадратного уравнения $t^2-34t+225=0\text{.}$ Найдём дискриминант:

$$D=34^2-4\cdot 225=1156-900=256.$$

Тогда корни уравнения:

$$t=\frac{34\pm 16}{2}\Rightarrow t_1=25,t_2=9.$$

Пусть $AP=25$ и $PC=9\text{.}$ Тогда найдём длины сторон:

$$AB=\sqrt{AP\cdot AC}=\sqrt{25\cdot 34}=5\sqrt{34},$$ $$BC=\sqrt{PC\cdot AC}=\sqrt{9\cdot 34}=3\sqrt{34}.$$

Поскольку $AD=AB$ и $CD=BC\text{,}$ найдём площадь дельтоида через его диагонали:

$$S=\frac{1}{2}AC\cdot BD=\frac{1}{2}\cdot 34\cdot 30=510.$$

Вычислим полупериметр четырёхугольника:

$$p=\frac{1}{2}(AB+BC+CD+DA)=\frac{1}{2}(5\sqrt{34}+3\sqrt{34}+3\sqrt{34}+5\sqrt{34})=8\sqrt{34}.$$

Радиус вписанной окружности $r$ для описанного многоугольника вычисляется по формуле:

$$r=\frac{S}{p}=\frac{510}{8\sqrt{34}}=\frac{510\sqrt{34}}{8\cdot 34}=\frac{510\sqrt{34}}{272}=\frac{15\sqrt{34}}{8}.$$

Ответ: $\frac{15\sqrt{34}}{8}\text{.}$