Задача №16677

А) Приведите пример такого натурального числа $n\text{,}$ что числа $n^2$ и $(n+24{)}^2$ дают одинаковый остаток при делении на 100.

Б) Сколько существует трёхзначных чисел $n$ с указанным в пункте А свойством?

В) Сколько существует двузначных чисел $m\text{,}$ для каждого из которых существует ровно 36 трёхзначных чисел $n$ таких, что $n^2$ и $(n+m{)}^2$ дают одинаковый остаток при делении на 100?

А) Решение.

Условие $(n+24{)}^2\equiv n^2(\mathrm{mod}100)$ равносильно $48n+576\equiv 0(\mathrm{mod}100)\text{,}$ или $12n+144\equiv 0(\mathrm{mod}25)$ (после деления на $\gcd (48,100)=4$). Так как $\gcd (12,25)=1\text{,}$ можно разделить:

$$n\equiv -12\equiv 13(\mathrm{mod}25).$$

Проверка: при $n=13$ имеем $n^2=169\text{,}$ $(n+24{)}^2=37^2=1369\text{,}$ оба числа дают остаток $69$ при делении на 100.

Ответ к пункту А: $n=13\text{.}$

Б) Решение.

Из пункта А следует $n\equiv 13(\mathrm{mod}25)\text{,}$ т.е. $n=13+25k\text{.}$ Условие \text{«}$n$ трёхзначное\text{»}:

$$100⩽13+25k⩽999\iff 87⩽25k⩽986\iff 3,48⩽k⩽39,44,$$

то есть $k\in \{4;5;\dots ;39\}\text{.}$ Всего $39-4+1=36$ значений.

Ответ к пункту Б: $36\text{.}$

В) Решение.

Условие $(n+m{)}^2\equiv n^2(\mathrm{mod}100)$ равносильно $m(2n+m)\equiv 0(\mathrm{mod}100)\text{.}$ Поскольку $m(2n+m)$ должно делиться на $4\text{,}$ при нечётном $m$ это невозможно (тогда $2n+m$ нечётно). Значит $m$ — чётное.

Рассмотрим случаи по $m\text{.}$

1. $m$ кратно 10, $m=10k\text{,}$ где $k$ не делится на 5 (т.е. $m\ne 50$). Сравнение

$$10k(2n+10k)\equiv 0(\mathrm{mod}100)\iff k(2n+10k)\equiv 0(\mathrm{mod}10).$$

Так как $\gcd (k,10)\in \{1;2\}\text{,}$ разбираем: при $\gcd (k,10)=1$ получаем $2n\equiv 0(\mathrm{mod}10)\text{,}$ $n\equiv 0(\mathrm{mod}5)$ - $\frac{900}{5}=180$ трёхзначных $n\text{,}$ что не равно 36, такие $m$ не подходят.

2. $m=50\text{.}$ Сравнение $50(2n+50)\equiv 0(\mathrm{mod}100)$ выполнено для всех $n$ - $900$ трёхзначных решений, не подходит.

3. $m=2k\text{,}$ где $k$ не делится на 5, и $m$ двузначное чётное не кратное 10, т.е. $10<2k<100\text{,}$ $6⩽k⩽49\text{,}$ $k$ не делится на 5. Таких $k$ — $44-8=36$ (всего целых $k$ от 6 до 49 — $44$ числа, из них кратных 5: $10,15,20,25,30,35,40,45$ — $8$ чисел).

Сравнение

$$2k(2n+2k)\equiv 0(\mathrm{mod}100)\iff k(n+k)\equiv 0(\mathrm{mod}25).$$

Так как $\gcd (k,25)=1$ (поскольку $k$ не делится на 5), это равносильно $n\equiv -k(\mathrm{mod}25)\text{,}$ т.е. $n=25s-k\text{.}$ Условие \text{«}$n$ трёхзначное\text{»}:

$$100⩽25s-k⩽999\iff \frac{100+k}{25}⩽s⩽\frac{999+k}{25},$$

или $4+\frac{k}{25}⩽s⩽39+\frac{k+24}{25}\text{.}$ При $6⩽k⩽49\text{,}$ $k$ не делится на 5, диапазон $s$ всегда содержит ровно $36$ целых значений.

Следовательно, для каждого из $36$ найденных значений $m=2k$ имеется ровно $36$ трёхзначных $n$ — это и есть искомые $m\text{.}$

Ответ к пункту В: $36\text{.}$

Ответ:

а) $n=13$

б) $36$

в) $36$