А) Приведите пример такого натурального числа n , что числа n^2 и (n+24)^2 дают одинаковый остаток при делении на 100. Б) Сколько существует трёхзначных чисел n с указанным в пункте А свойством? В) Сколько существует двузначных чисел m , для каждого из которых существует ровно 36 трёхзначных чисел n таких, что n^2 и (n+m)^2 дают одинаковый остаток при делении на 100?

А) Решение. Условие (n+24)^2 === n^2 +-od100 равносильно 48n + 576 === 0 +-od100 , или 12n + 144 === 0 +-od25 (после деления на (48, 100) = 4 ). Так как (12, 25) = 1 , можно разделить: n === -12 === 13 +-od25. Проверка: при n = 13 имеем n^2 = 169 , (n+24)^2 = 37^2 = 1369 , оба числа дают остаток 69 при делении на 100. Ответ к пункту А: n = 13 . Б) Решение. Из пункта А следует n === 13 +-od25 , т.е. n = 13 + 25k . Условие « n трёхзначное»: 100 13 + 25k 999 <=>87 25k 986 <=>3,48 k 39,44, то есть k in 4; 5; ; 39 . Всего 39 - 4 + 1 = 36 значений. Ответ к пункту Б: 36 . В) Решение. Условие (n+m)^2 === n^2 +-od100 равносильно m(2n + m) === 0 +-od100 . Поскольку m(2n + m) должно делиться на 4 , при нечётном m это невозможно (тогда 2n + m нечётно). Значит m — чётное. Рассмотрим случаи по m . 1. m кратно 10, m = 10k , где k не делится на 5 (т.е. m != 50 ). Сравнение 10k(2n + 10k) === 0 +-od100 <=>k(2n + 10k) === 0 +-od10. Так как (k, 10) in 1; 2 , разбираем: при (k, 10) = 1 получаем 2n === 0 +-od10 , n === 0 +-od5 — (900)/(5) = 180 трёхзначных n , что не равно 36, такие m не подходят. 2. m = 50 . Сравнение 50(2n + 50) === 0 +-od100 выполнено для всех n — 900 трёхзначных решений, не подходит. 3. m = 2k , где k не делится на 5, и m двузначное чётное не кратное 10, т.е. 10 < 2k < 100 , 6 k 49 , k не делится на 5. Таких k — 44 - 8 = 36 (всего целых k от 6 до 49 — 44 числа, из них кратных 5: 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45 — 8 чисел). Сравнение 2k(2n + 2k) === 0 +-od100 <=>k(n + k) === 0 +-od25. Так как (k, 25) = 1 (поскольку k не делится на 5), это равносильно n === -k +-od25 , т.е. n = 25s - k . Условие « n трёхзначное»: 100 25s - k 999 <=>(100 + k)/(25) s (999 + k)/(25), или 4 + (k)/(25) s 39 + (k + 24)/(25) . При 6 k 49 , k не делится на 5, диапазон s всегда содержит ровно 36 целых значений. Следовательно, для каждого из 36 найденных значений m = 2k имеется ровно 36 трёхзначных n — это и есть искомые m . Ответ к пункту В: 36 . Ответ: а) n = 13 б) 36 в) 36

А) $n = 13$; Б) $36$; В) $36$.