Задача №16676

Три гонщика (А, затем В и потом С) стартуют с интервалом в 1 мин из одной точки кольцевого шоссе и двигаются в одном направлении с постоянными скоростями. Каждый гонщик затрачивает на круг более 2 минут. Сделав три круга, гонщик А в первый раз догоняет В у точки старта, а еще через три минуты он вторично обгоняет С. Гонщик В впервые догнал С также у точки старта, закончив четыре круга. Сколько минут тратит на круг гонщик А?

Пусть $t_A\text{,}$ $t_B\text{,}$ $t_C$ — время на круг (мин) для гонщиков $A\text{,}$ $B\text{,}$ $C\text{.}$ Гонщик $B$ стартует на 1 мин позже $A\text{,}$ гонщик $C$ — на 2 мин позже $A\text{.}$

1. $A$ догоняет $B$ у старта после трёх кругов; $B$ к тому моменту проехал ровно 2 круга. Поскольку $B$ ехал на 1 мин меньше:

2. Через 3 минуты после этого $A$ вторично обгоняет $C\text{,}$ т. е. $A$ опережает $C$ ровно на 2 круга:

3. $B$ впервые догоняет $C$ у старта, закончив 4 круга; $C$ к тому моменту проехал 3 круга:

Из (1): $t_B=\frac{3t_A-1}{2}\text{.}$ Подставляя в (3): $t_C=\frac{4t_B-1}{3}=2t_A-1\text{.}$

Подставим в (2):

Корни: $t_A=1$ или $t_A=3\text{.}$ По условию $t_A>2\text{,}$ значит $t_A=3\text{.}$

Ответ: 3.