Три гонщика (А, затем В и потом С) стартуют с интервалом в 1 мин из одной точки кольцевого шоссе и двигаются в одном направлении с постоянными скоростями. Каждый гонщик затрачивает на круг более 2 минут. Сделав три круга, гонщик А в первый раз догоняет В у точки старта, а еще через три минуты он вторично обгоняет С. Гонщик В впервые догнал С также у точки старта, закончив четыре круга. Сколько минут тратит на круг гонщик А?

Пусть t_A , t_B , t_C — время на круг (мин) для гонщиков A , B , C . Гонщик B стартует на 1 мин позже A , гонщик C — на 2 мин позже A . 1. A догоняет B у старта после трёх кругов; B к тому моменту проехал ровно 2 круга. Поскольку B ехал на 1 мин меньше: 3 t_A = 2 t_B + 1. 2. Через 3 минуты после этого A вторично обгоняет C , т. е. A опережает C ровно на 2 круга: (3 t_A + 3)/(t_A) - (3 t_A + 3 - 2)/(t_C) = 2. 3. B впервые догоняет C у старта, закончив 4 круга; C к тому моменту проехал 3 круга: 4 t_B = 3 t_C + 1. Из (1): t_B = (3 t_A - 1)/(2) . Подставляя в (3): t_C = (4 t_B - 1)/(3) = 2 t_A - 1 . Подставим в (2): 3 + (3)/(t_A) = (3 t_A + 1)/(2 t_A - 1) + 2 <=> (3)/(t_A) = (t_A + 2)/(2 t_A - 1) <=> 3(2 t_A - 1) = t_A(t_A + 2) <=> t_A^2 - 4 t_A + 3 = 0. Корни: t_A = 1 или t_A = 3 . По условию t_A > 2 , значит t_A = 3 . Ответ: 3.

3