Найдите наименьшее значение функции y = 3 cos 4x + 6 sin 2x на отрезке [-(pi)/(2);(pi)/(2)] .

Преобразуем: cos 4x = 1 - 2 sin^2 2x . Пусть t = sin 2x . При x in [-(pi)/(2);(pi)/(2)] переменная 2x пробегает [-pi;pi] , и t = sin 2x принимает все значения отрезка [-1;1] . Тогда y = 3(1 - 2t^2) + 6t = -6t^2 + 6t + 3 — квадратичная функция от t с ветвями вниз. Её вершина в t = (1)/(2) — это точка максимума. Минимум на t in [-1;1] достигается на одной из границ: y(-1) = -6 - 6 + 3 = -9, y(1) = -6 + 6 + 3 = 3. Наименьшее значение равно -9 (достигается при sin 2x = -1 , т. е. при x = -(pi)/(4) ). Ответ: -9 .

-9