Задача №16674

В трапеции с основаниями $BC=6$ и $AD=8$ на диагонали $AC$ отмечена точка $O$ такая, что $CO:OA=2:3\text{.}$ Прямая $BO$ пересекает отрезок $CD$ в точке $E\text{.}$
а) Докажите, что $CE:DE=6:1\text{.}$
б) Найдите отношение площади треугольника $COE$ к площади трапеции $ABCD\text{.}$

а) Обозначим $M=BE\cap AD$ (точка на продолжении $AD$ за точку $D\text{,}$ поскольку $BC\parallel AD$ и $BO$ продолжается до пересечения $CD$ внутри трапеции). Применим теорему Менелая для треугольника $ACD$ и секущей $BME\text{:}$

Из условия $CO:OA=2:3$ имеем $\frac{AO}{OC}=\frac{3}{2}\text{.}$

Из подобия $△DME\sim △CBE$ (углы при $E$ равны, а накрест лежащие при параллельных $BC\parallel AD$):

Пусть $DM=y\text{,}$ тогда $AM=AD+DM=8+y$ и $\frac{DM}{MA}=\frac{y}{8+y}\text{.}$ Подставим в равенство Менелая:

Тогда $\frac{CE}{ED}=\frac{6}{1}\text{,}$ что и требовалось доказать.

б) Обозначим $CE=6t\text{,}$ $ED=t\text{,}$ тогда $CD=7t\text{.}$ Также $OC=\frac{2}{5}AC\text{.}$ Треугольники $OCE$ и $ACD$ имеют общий угол при вершине $C\text{,}$ поэтому

Далее, обозначив высоту трапеции через $h\text{:}$

Итого

Ответ: $\frac{48}{245}\text{.}$