В трапеции с основаниями BC = 6 и AD = 8 на диагонали AC отмечена точка O такая, что CO : OA = 2 : 3 . Прямая BO пересекает отрезок CD в точке E . а) Докажите, что CE : DE = 6 : 1 . б) Найдите отношение площади треугольника COE к площади трапеции ABCD .

а) Обозначим M = BE n AD (точка на продолжении AD за точку D , поскольку BC AD и BO продолжается до пересечения CD внутри трапеции). Применим теорему Менелая для треугольника ACD и секущей BME : (AO)/(OC) * (CE)/(ED) * (DM)/(MA) = 1. Из условия CO : OA = 2 : 3 имеем (AO)/(OC) = (3)/(2) . Из подобия DME CBE (углы при E равны, а накрест лежащие при параллельных BC AD ): (CE)/(ED) = (BC)/(DM) = (6)/(DM). Пусть DM = y , тогда AM = AD + DM = 8 + y и (DM)/(MA) = (y)/(8 + y) . Подставим в равенство Менелая: (3)/(2) * (6)/(y) * (y)/(8 + y) = 1 <=> (9)/(8 + y) = 1 <=> y = 1. Тогда (CE)/(ED) = (6)/(1) , что и требовалось доказать. б) Обозначим CE = 6t , ED = t , тогда CD = 7t . Также OC = (2)/(5) AC . Треугольники OCE и ACD имеют общий угол при вершине C , поэтому (S_(OCE))/(S_(ACD)) = (OC * CE)/(AC * CD) = (2)/(5) * (6)/(7) = (12)/(35). Далее, обозначив высоту трапеции через h : S_(ACD) = (1)/(2) AD * h = 4h, S_(ABCD) = (AD + BC)/(2) * h = 7h, (S_(ACD))/(S_(ABCD)) = (4)/(7). Итого (S_(OCE))/(S_(ABCD)) = (S_(OCE))/(S_(ACD)) * (S_(ACD))/(S_(ABCD)) = (12)/(35) * (4)/(7) = (48)/(245). Ответ: (48)/(245) .

$\dfrac{48}{245}$