Найдите все значения параметра a , при которых уравнение _a(sin x + 2) + _a(sin x + 3) = 1 имеет хотя бы одно решение.

Рассмотрим исходное уравнение: _a(sin x + 2) + _a(sin x + 3) = 1. ОДЗ: a > 0 , a != 1 . Кроме того, sin x + 2 > 0 и sin x + 3 > 0 — оба условия автоматически выполнены, так как sin x -1 . Объединим логарифмы: _a((sin x + 2)(sin x + 3)) = 1, (sin x + 2)(sin x + 3) = a. Пусть t = sin x in [-1; 1] . Тогда необходимо, чтобы уравнение (t + 2)(t + 3) = a имело решение при t in [-1; 1] . Рассмотрим функцию g(t) = (t + 2)(t + 3) = t^2 + 5t + 6 на отрезке [-1; 1] . Её вершина находится в точке t = -(5)/(2) not in [-1; 1] . На рассматриваемом отрезке производная g'(t) = 2t + 5 > 0 , следовательно, функция возрастает. Найдём значения на концах отрезка: g(-1) = 1 - 5 + 6 = 2, g(1) = 1 + 5 + 6 = 12. Значит, g принимает все значения из отрезка [2; 12] . Учёт ограничений на a : a > 0 , a != 1 . Отрезок [2; 12] не содержит 1 , а все его элементы положительны, поэтому ограничения уже учтены. Ответ: a in [2; 12] .

[2; 12]