Задача №16673

Найдите все значения параметра $a\text{,}$ при которых уравнение
${\log }_a(\sin x+2)+{\log }_a(\sin x+3)=1$
имеет хотя бы одно решение.

Рассмотрим исходное уравнение:

ОДЗ: $a>0\text{,}$ $a\ne 1\text{.}$ Кроме того, $\sin x+2>0$ и $\sin x+3>0$ — оба условия автоматически выполнены, так как $\sin x⩾-1\text{.}$

Объединим логарифмы:

Пусть $t=\sin x\in [-1;1]\text{.}$ Тогда необходимо, чтобы уравнение

имело решение при $t\in [-1;1]\text{.}$

Рассмотрим функцию $g(t)=(t+2)(t+3)=t^2+5t+6$ на отрезке $[-1;1]\text{.}$ Её вершина находится в точке $t=-\frac{5}{2}\notin [-1;1]\text{.}$ На рассматриваемом отрезке производная $g^{\prime }(t)=2t+5>0\text{,}$ следовательно, функция возрастает.

Найдём значения на концах отрезка:

Значит, $g$ принимает все значения из отрезка $[2;12]\text{.}$

Учёт ограничений на $a\text{:}$ $a>0\text{,}$ $a\ne 1\text{.}$ Отрезок $[2;12]$ не содержит $1\text{,}$ а все его элементы положительны, поэтому ограничения уже учтены.

Ответ: $a\in [2;12]\text{.}$