Задача №16672

В треугольнике $ABC$ на сторонах $AB$ и $BC$ отмечены точки $M$ и $N$ соответственно, причём $BM=BN\text{.}$ Через точку $M$ проведена прямая, перпендикулярная $BC\text{,}$ а через точку $N$ — прямая, перпендикулярная $AB\text{.}$ Эти прямые пересекаются в точке $O\text{.}$ Продолжение отрезка $BO$ пересекает сторону $AC$ в точке $P\text{,}$ $AP=5\text{,}$ $PC=4\text{.}$

а) Докажите, что $BP$ — биссектриса треугольника $ABC\text{.}$
б) Найдите длину отрезка $BP\text{,}$ если $BC=6\text{.}$

а) Доказательство.

Так как $BM=BN\text{,}$ треугольник $MBN$ равнобедренный с основанием $MN\text{.}$ Прямые, проведённые из $M$ перпендикулярно $BC$ и из $N$ перпендикулярно $AB\text{,}$ являются высотами треугольника $MBN\text{,}$ опущенными на боковые стороны $BN$ и $BM$ соответственно. Точка $O$ — точка пересечения двух высот, значит она — ортоцентр $△MBN\text{.}$

Высоты треугольника пересекаются в одной точке, поэтому третья высота — из вершины $B$ — также проходит через $O\text{.}$ Эта высота перпендикулярна $MN\text{.}$ В равнобедренном треугольнике высота к основанию совпадает с биссектрисой угла при вершине, значит прямая $BO$ — биссектриса угла $MBN\text{.}$ Так как угол $MBN$ совпадает с углом $ABC\text{,}$ прямая $BO$ (а значит и её продолжение $BP$) — биссектриса угла $B$ треугольника $ABC\text{,}$ ч.т.д.

б) Решение.

Дано $BC=6\text{,}$ $AP=5\text{,}$ $PC=4\text{.}$ Из пункта а) $BP$ — биссектриса.

По свойству биссектрисы:

$$\frac{AB}{BC}=\frac{AP}{PC}=\frac{5}{4},$$

откуда $AB=\frac{5}{4}\cdot 6=\frac{15}{2}\text{.}$

Длина биссектрисы $BP$ находится по формуле $l^2=AB\cdot BC-AP\cdot PC$ (следствие теоремы косинусов из условия $\angle ABP=\angle PBC$):

$$l^2=\frac{15}{2}\cdot 6-5\cdot 4=45-20=25,l=5.$$

Ответ: $BP=5\text{.}$