В треугольнике ABC на сторонах AB и BC отмечены точки M и N соответственно, причём BM = BN . Через точку M проведена прямая, перпендикулярная BC , а через точку N — прямая, перпендикулярная AB . Эти прямые пересекаются в точке O . Продолжение отрезка BO пересекает сторону AC в точке P , AP = 5 , PC = 4 . а) Докажите, что BP — биссектриса треугольника ABC . б) Найдите длину отрезка BP , если BC = 6 .

а) Доказательство. Так как BM = BN , треугольник MBN равнобедренный с основанием MN . Прямые, проведённые из M перпендикулярно BC и из N перпендикулярно AB , являются высотами треугольника MBN , опущенными на боковые стороны BN и BM соответственно. Точка O — точка пересечения двух высот, значит она — ортоцентр MBN . Высоты треугольника пересекаются в одной точке, поэтому третья высота — из вершины B — также проходит через O . Эта высота перпендикулярна MN . В равнобедренном треугольнике высота к основанию совпадает с биссектрисой угла при вершине, значит прямая BO — биссектриса угла MBN . Так как угол MBN совпадает с углом ABC , прямая BO (а значит и её продолжение BP ) — биссектриса угла B треугольника ABC , ч.т.д. б) Решение. Дано BC = 6 , AP = 5 , PC = 4 . Из пункта а) BP — биссектриса. По свойству биссектрисы: (AB)/(BC) = (AP)/(PC) = (5)/(4), откуда AB = (5)/(4) * 6 = (15)/(2) . Длина биссектрисы BP находится по формуле l^2 = AB * BC - AP * PC (следствие теоремы косинусов из условия ABP = PBC ): l^2 = (15)/(2) * 6 - 5 * 4 = 45 - 20 = 25, l = 5. Ответ: BP = 5 .

Б) $BP = 5$.