Задача №16671

В автохозяйстве имеются грузовики трёх типов. Каждый грузовик первого типа имеет грузоподъёмность 3 тонны и сделал 3 рейса, каждый грузовик второго типа имеет грузоподъёмность 13 тонн и сделал 12 рейсов, каждый грузовик третьего типа имеет грузоподъёмность 17 тонн и сделал 16 рейсов. Всего было сделано ровно 95 рейсов.

а) Могло ли в автохозяйстве быть 2 грузовика третьего типа?
б) Могло ли в автохозяйстве быть 4 грузовика третьего типа?
в) Сколько тонн груза максимально могло перевезти автохозяйство при данных условиях?

Пусть $x\text{,}$ $y\text{,}$ $z$ — число грузовиков первого, второго и третьего типов соответственно ($x,y,z⩾0\text{,}$ целые). Тогда общее число рейсов:

$$3x+12y+16z=95.$$

Полная масса перевезённого груза:

$$V=3\cdot 3\cdot x+13\cdot 12\cdot y+17\cdot 16\cdot z=9x+156y+272z.$$

а) При $z=2\text{:}$

$$3x+12y=95-32=63\iff x+4y=21.$$

Например, $x=1\text{,}$ $y=5$ — целые неотрицательные. Да, могло.

б) При $z=4\text{:}$

$$3x+12y=95-64=31.$$

Левая часть делится на $3\text{,}$ а $31$ — нет, противоречие. Нет, не могло.

в) Из $3x+12y+16z=95$ видно, что $3x\equiv 95-16z(\mathrm{mod}12)\text{,}$ и анализ остатков даёт: $x\equiv 1(\mathrm{mod}4)$ и $z\equiv 2(\mathrm{mod}3)\text{.}$ Положим $x=1+4s\text{,}$ $z=2+3t\text{,}$ $s,t⩾0\text{.}$ Подставим в $3x+12y+16z=95\text{:}$

$$3(1+4s)+12y+16(2+3t)=95\iff 12s+12y+48t=60\iff s+y+4t=5.$$

Выразим $V$ через $s\text{,}$ $y\text{,}$ $t\text{:}$

$$V=9(1+4s)+156y+272(2+3t)=553+36s+156y+816t.$$

Для максимума $V$ выгодно увеличивать переменную с наибольшим коэффициентом, т. е. $t\text{.}$ Из $s+y+4t=5$ при $s,y⩾0$ получаем $t⩽1\text{.}$ Берём $t=1\text{,}$ тогда $s+y=1\text{.}$ Среди $s$ и $y$ выгоднее увеличивать $y$ (коэффициент $156>36$): $y=1\text{,}$ $s=0\text{.}$ Получаем $x=1\text{,}$ $y=1\text{,}$ $z=5\text{,}$ и

$$V=553+0+156+816=1525\text{ тонн}.$$

Проверка: $3\cdot 1+12\cdot 1+16\cdot 5=3+12+80=95$ — рейсы сходятся.

Ответ:

а) да

б) нет

в) 1525.