Отношение трёхзначного числа к удвоенной сумме его цифр является целым числом. а) Может ли это отношение равняться 25? б) Может ли это отношение равняться 44? в) Какое наименьшее значение может принимать это отношение, если первая цифра трёхзначного числа равна 8?

Пусть трёхзначное число n = 100a + 10b + c , где a in 1; 2; ; 9 , b, c in 0; 1; ; 9 , сумма цифр s = a + b + c , искомое отношение k = (n)/(2s) — целое. а) Выясним, может ли k = 25 . Это условие равносильно n = 50s : 100a + 10b + c = 50(a + b + c) <=> 50a - 40b - 49c = 0. При c = 0 получаем: 50a = 40b => 5a = 4b . Так как a и b — цифры, то единственное решение при a != 0 — это a = 4 , b = 5 . Получаем число n = 450 , сумма цифр которого s = 4 + 5 + 0 = 9 . Проверим отношение: (450)/(2 * 9) = (450)/(18) = 25. Да, может. б) Выясним, может ли k = 44 . Это условие равносильно n = 88s : 100a + 10b + c = 88(a + b + c) <=> 12a - 78b - 87c = 0 <=> 4a = 26b + 29c. Левая часть уравнения 4a 4 * 9 = 36 . Рассмотрим возможные значения правой части: 1. Если b = 0 и c = 0 , то 4a = 0 , что невозможно, так как a 1 . 2. Если b = 1 и c = 0 , то 4a = 26 , откуда a = 6,5 (не целое). 3. Если b = 0 и c = 1 , то 4a = 29 (не целое). 4. Если b + c 2 , то минимальное значение правой части (при b = 2 , c = 0 ) равно 52 , что больше 36. Следовательно, решений в целых числах (цифрах) нет. Нет, не может. в) По условию a = 8 . Ищем минимальное целое k = (800 + 10b + c)/(2(8 + b + c)) , где b, c in 0; 1; ; 9 . Проверим возможность k 22 : 1. Если k = 22 , то n = 44s : 800 + 10b + c = 44(8 + b + c) => 34b + 43c = 448. Перебором убеждаемся, что при b, c in 0; ; 9 решений нет (максимум левой части при b=9, c=9 равен 306 + 387 = 693 , но нужно анализировать остатки). 2. Если k = 21 , то n = 42s : 800 + 10b + c = 42(8 + b + c) => 32b + 41c = 464. Решений в цифрах нет. 3. Если k = 20 , то n = 40s : 800 + 10b + c = 40(8 + b + c) => 10b + 13c = 160. Максимальное значение 10 * 9 + 13 * 9 = 207 , однако при c = 0 , 10b = 160 (нет), при c = 9 , 10b = 43 (нет). Проверим k = 23 . Тогда n = 46s : 800 + 10b + c = 46(8 + b + c) => 36b + 45c = 432 => 4b + 5c = 48. Найдем подходящие цифры: - Если c = 4 , то 4b = 28 => b = 7 . Число n = 874 , s = 19 , k = (874)/(2 * 19) = 23 . - Если c = 8 , то 4b = 8 => b = 2 . Число n = 828 , s = 18 , k = (828)/(2 * 18) = 23 . Наименьшее значение равно 23. Ответ: а) да б) нет в) 23

А) да, например 450; Б) нет; В) 23