Задача №16669

Отношение трёхзначного числа к удвоенной сумме его цифр является целым числом.

а) Может ли это отношение равняться 25?
б) Может ли это отношение равняться 44?
в) Какое наименьшее значение может принимать это отношение, если первая цифра трёхзначного числа равна 8?

Пусть трёхзначное число $n=100a+10b+c\text{,}$ где $a\in \{1;2;\dots ;9\}\text{,}$ $b,c\in \{0;1;\dots ;9\}\text{,}$ сумма цифр $s=a+b+c\text{,}$ искомое отношение $k=\frac{n}{2s}$ — целое.

а) Выясним, может ли $k=25\text{.}$ Это условие равносильно $n=50s\text{:}$

$$100a+10b+c=50(a+b+c)\iff 50a-40b-49c=0.$$

При $c=0$ получаем: $50a=40b\Rightarrow 5a=4b\text{.}$

Так как $a$ и $b$ — цифры, то единственное решение при $a\ne 0$ — это $a=4\text{,}$ $b=5\text{.}$ Получаем число $n=450\text{,}$ сумма цифр которого $s=4+5+0=9\text{.}$ Проверим отношение:

$$\frac{450}{2\cdot 9}=\frac{450}{18}=25.$$

Да, может.

б) Выясним, может ли $k=44\text{.}$ Это условие равносильно $n=88s\text{:}$

$$100a+10b+c=88(a+b+c)\iff 12a-78b-87c=0\iff 4a=26b+29c.$$

Левая часть уравнения $4a⩽4\cdot 9=36\text{.}$ Рассмотрим возможные значения правой части:
1. Если $b=0$ и $c=0\text{,}$ то $4a=0\text{,}$ что невозможно, так как $a⩾1\text{.}$
2. Если $b=1$ и $c=0\text{,}$ то $4a=26\text{,}$ откуда $a=6,5$ (не целое).
3. Если $b=0$ и $c=1\text{,}$ то $4a=29$ (не целое).
4. Если $b+c⩾2\text{,}$ то минимальное значение правой части (при $b=2\text{,}$ $c=0$) равно $52\text{,}$ что больше 36.

Следовательно, решений в целых числах (цифрах) нет. Нет, не может.

в) По условию $a=8\text{.}$ Ищем минимальное целое $k=\frac{800+10b+c}{2(8+b+c)}\text{,}$ где $b,c\in \{0;1;\dots ;9\}\text{.}$

Проверим возможность $k⩽22\text{:}$
1. Если $k=22\text{,}$ то $n=44s\text{:}$

$$800+10b+c=44(8+b+c)\Rightarrow 34b+43c=448.$$

Перебором убеждаемся, что при $b,c\in \{0;\dots ;9\}$ решений нет (максимум левой части при $b=9,c=9$ равен $306+387=693\text{,}$ но нужно анализировать остатки).
2. Если $k=21\text{,}$ то $n=42s\text{:}$

$$800+10b+c=42(8+b+c)\Rightarrow 32b+41c=464.$$

Решений в цифрах нет.
3. Если $k=20\text{,}$ то $n=40s\text{:}$

$$800+10b+c=40(8+b+c)\Rightarrow 10b+13c=160.$$

Максимальное значение $10\cdot 9+13\cdot 9=207\text{,}$ однако при $c=0\text{,}$ $10b=160$ (нет), при $c=9\text{,}$ $10b=43$ (нет).

Проверим $k=23\text{.}$ Тогда $n=46s\text{:}$

$$800+10b+c=46(8+b+c)\Rightarrow 36b+45c=432\Rightarrow 4b+5c=48.$$

Найдем подходящие цифры:

• Если $c=4\text{,}$ то $4b=28\Rightarrow b=7\text{.}$ Число $n=874\text{,}$ $s=19\text{,}$ $k=\frac{874}{2\cdot 19}=23\text{.}$
• Если $c=8\text{,}$ то $4b=8\Rightarrow b=2\text{.}$ Число $n=828\text{,}$ $s=18\text{,}$ $k=\frac{828}{2\cdot 18}=23\text{.}$

Наименьшее значение равно 23.

Ответ:

а) да

б) нет

в) 23