Задача №16668

Объём треугольной пирамиды равен 90. Плоскость проходит через сторону основания этой пирамиды и пересекает противоположное боковое ребро в точке, делящей его в отношении 4:5, считая от вершины пирамиды. Найдите наименьший из объёмов пирамид, на которые плоскость разбивает исходную пирамиду.

Пусть $V_{SABC}=90\text{.}$ Сечение проходит через сторону основания (например $AB$) и пересекает противоположное боковое ребро $SC$ в точке $M\text{,}$ делящей его в отношении $4:5$ от вершины $S\text{,}$ то есть $SM:MC=4:5\text{,}$ значит $\frac{MC}{SC}=\frac{5}{9}\text{.}$

Объём пирамиды $MABC$ с основанием $ABC$ и вершиной $M$ относится к объёму $V_{SABC}$ как высоты, опущенные из $M$ и $S$ на плоскость $ABC\text{,}$ то есть как $\frac{5}{9}\text{:}$

Тогда объём отсечённой пирамиды $SABM$ равен $90-50=40\text{.}$ Это и есть наименьший из двух объёмов.

Ответ: 40