Задача №16664

а) Решите уравнение
$\cos \left(\pi -\frac{5x}{2}\right)\cos \left(\pi +\frac{3x}{2}\right)=2{\cos }^{2}x-\sin \frac{5x}{2}\sin \frac{3x}{2}\text{.}$
б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку
$\left[\pi ;\frac{5\pi }{2}\right]\text{.}$

а) Применим формулы приведения:

Левая часть уравнения принимает вид:

Уравнение принимает вид:

По формуле косинуса разности $\cos (\alpha -\beta )=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta \text{:}$

Разложим уравнение на множители:

1. $\cos x=0\Rightarrow x=\frac{\pi }{2}+\pi n\text{,}$ где $n\in \mathbb{Z}\text{.}$
2. $\cos x=\frac{1}{2}\Rightarrow x=\pm \frac{\pi }{3}+2\pi k\text{,}$ где $k\in \mathbb{Z}\text{.}$

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[\pi ;\frac{5\pi }{2}\right]$ (учитывая, что $\pi \approx 3,14\text{,}$ $\frac{5\pi }{2}\approx 7,85$).

• Из серии $x=\frac{\pi }{2}+\pi n\text{:}$
  при $n=1$ получаем $x=\frac{3\pi }{2}\text{;}$
  при $n=2$ получаем $x=\frac{5\pi }{2}\text{.}$

• Из серии $x=\frac{\pi }{3}+2\pi k\text{:}$
  при $k=1$ получаем $x=\frac{7\pi }{3}\approx 7,33\text{.}$

• Из серии $x=-\frac{\pi }{3}+2\pi k\text{:}$
  при $k=1$ получаем $x=\frac{5\pi }{3}\approx 5,24\text{.}$

Ответ:

а) $\frac{\pi }{2}+\pi n;\pm \frac{\pi }{3}+2\pi k,n,k\in \mathbb{Z}$

б) $\frac{3\pi }{2};\frac{5\pi }{3};\frac{7\pi }{3};\frac{5\pi }{2}$