Карина выписывает в тетрадь 200 таких различных натуральных чисел, что их сумма равна 20264. а) Может ли среди них быть число 310? б) Может ли среди выписанных чисел не быть числа 17? в) Какое наименьшее количество чисел, кратных 17, могло быть выписано?

Минимум суммы 200 различных натуральных чисел: 1 + 2 + + 200 = (200 * 201)/(2) = 20100. Запас составляет: 20264 - 20100 = 164 . а) В стандартном наборе 1; 2; ; 200 заменим число 146 на 310 (разность 310 - 146 = 164 ). Получим набор различных натуральных чисел с суммой: 20100 - 146 + 310 = 20264. б) Минимальная сумма 200 различных натуральных чисел без числа 17 достигается на наборе 1; 2; ; 16; 18; ; 201 : S = 20100 - 17 + 201 = 20284 > 20264. Любой другой набор без 17 даёт ещё большую сумму. Следовательно, число 17 обязательно входит в набор. в) Пусть в наборе ровно m чисел, кратных 17. Минимальная сумма достигается, когда взяты m наименьших кратных 17 (то есть 17, 34, , 17m ) и 200 - m наименьших чисел, не кратных 17. Рассмотрим случай m = 7 . Кратные числа: 17, 34, , 119 , их сумма: 17 * (7 * 8)/(2) = 476. Среди чисел от 1 до 205 ровно 12 кратных 17 (числа 17, 34, , 204 ), значит, 205 - 12 = 193 числа не кратны 17. Их сумма: (205 * 206)/(2) - 17 * (12 * 13)/(2) = 21115 - 1326 = 19789. Итоговый минимум для m = 7 : 19789 + 476 = 20265 > 20264. Уменьшить сумму нельзя, так как все числа уже минимальны. Значит, m = 7 невозможно. Для m 6 минимум будет ещё больше (например, при m = 6 : 19995 + 357 = 20352 ). Рассмотрим случай m = 8 . Кратные числа: 17, 34, , 136 , их сумма: 17 * 36 = 612 . Некратных чисел в диапазоне от 1 до 204 ровно 204 - 12 = 192 . Их сумма: (204 * 205)/(2) - 1326 = 19584. Минимальная сумма: 19584 + 612 = 20196 < 20264 . Разность составляет: 20264 - 20196 = 68 . Заменим в наборе некратных число 203 на 271 (число 271 не кратно 17, так как 271 : 17 = 15,94 , и 271 > 204 ). Изменение суммы: +68 . Получаем искомую сумму 20264 ровно с 8 числами, кратными 17. Ответ: а) Да б) Нет в) 8

А) да; Б) нет; В) 8