Задача №16661

Решите уравнение

$$2\sqrt{2x-8}-\sqrt{9-6x+x^2}+1=0.$$

Если корней несколько, в ответе укажите больший из них.

Заметим, что

$$\sqrt{9-6x+x^2}=\sqrt{(x-3{)}^2}=|x-3|.$$

ОДЗ: $2x-8⩾0\iff x⩾4\text{,}$ поэтому $|x-3|=x-3\text{.}$

Уравнение принимает вид:

$$2\sqrt{2x-8}-(x-3)+1=0\iff 2\sqrt{2x-8}=x-4.$$

Правая часть неотрицательна при $x⩾4\text{.}$ Возводим в квадрат:

$$4(2x-8)=(x-4{)}^2\iff x^2-16x+48=0.$$

Корни: $x_1=4\text{,}$ $x_2=12$ — оба удовлетворяют ОДЗ. Больший корень — $12\text{.}$

Ответ: 12.