Задача №16659: Простейшие уравнения

Решите уравнение $2^{12 x - 1} - 4^{6 x - 1} + 8^{4 x - 1} - 1 6^{3 x - 1} = 1280 .$

Все слагаемые приводим к степеням двойки:

2^{12 x - 1} = \frac{2 ^{12 x}}{2}, 4^{6 x - 1} = \frac{2 ^{12 x}}{4}, 8^{4 x - 1} = \frac{2 ^{12 x}}{8}, 1 6^{3 x - 1} = \frac{2 ^{12 x}}{16} .

Уравнение принимает вид:

2^{12 x} (\frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{8} - \frac{1}{16}) = 1280.

В скобках $\frac{8 - 4 + 2 - 1}{16} = \frac{5}{16} .$

Тогда:

2^{12 x} \cdot \frac{5}{16} = 1280 \Rightarrow 2^{12 x} = \frac{1280 \cdot 16}{5} = 4096 = 2^{12},

откуда $12 x = 12,$ $x = 1 .$

Ответ: $1 .$