а) Решите уравнение 2sin 2x * (2 + sin x) = 3sin((3pi)/(2) - x) . б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку [-(5pi)/(2); -pi] .

а) Применим формулу приведения sin((3pi)/(2) - x) = -cos x . Уравнение примет вид: 2sin 2x * (2 + sin x) = -3cos x. Подставим sin 2x = 2sin x cos x : 4sin x cos x * (2 + sin x) + 3cos x = 0; cos x * (4sin x(2 + sin x) + 3) = 0; cos x * (4sin^2 x + 8sin x + 3) = 0. Рассмотрим два случая: 1. cos x = 0 <=> x = (pi)/(2) + pi n, n in Z . 2. Решим квадратное уравнение 4sin^2 x + 8sin x + 3 = 0 . Дискриминант: D = 8^2 - 4 * 4 * 3 = 64 - 48 = 16. Корни уравнения: sin x = (-8 +- 4)/(8) => sin x = -(1)/(2) или sin x = -(3)/(2). Уравнение sin x = -(3)/(2) не имеет решений, так как |sin x| 1 . Для уравнения sin x = -(1)/(2) получим: x = -(pi)/(6) + 2pi n или x = -(5pi)/(6) + 2pi n, n in Z. б) Найдём корни на отрезке [-(5pi)/(2); -pi] ~ [-7,854; -3,142] . Из серии x = (pi)/(2) + pi n : - при n = -3 : x = (pi)/(2) - 3pi = -(5pi)/(2) — входит в отрезок (граничная точка); - при n = -2 : x = (pi)/(2) - 2pi = -(3pi)/(2) ~ -4,712 — входит в отрезок. Из серии x = -(pi)/(6) + 2pi n : - при n = -1 : x = -(pi)/(6) - 2pi = -(13pi)/(6) ~ -6,807 — входит в отрезок. Из серии x = -(5pi)/(6) + 2pi n : - при n = -1 : x = -(5pi)/(6) - 2pi = -(17pi)/(6) ~ -8,901 — не входит в отрезок. Ответ: а) (pi)/(2) + pi n ; -(pi)/(6) + 2pi n ; -(5pi)/(6) + 2pi n, n in Z б) -(5pi)/(2) ; -(13pi)/(6) ; -(3pi)/(2)

-5π/2; -13π/6; -3π/2