Задача №16658

а) Решите уравнение
$2\sin 2x\cdot (2+\sin x)=3\sin \left(\frac{3\pi }{2}-x\right)\text{.}$

б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку
$\left[-\frac{5\pi }{2};-\pi \right]\text{.}$

а) Применим формулу приведения $\sin \left(\frac{3\pi }{2}-x\right)=-\cos x\text{.}$ Уравнение примет вид:

$$2\sin 2x\cdot (2+\sin x)=-3\cos x.$$

Подставим $\sin 2x=2\sin x\cos x\text{:}$

$$4\sin x\cos x\cdot (2+\sin x)+3\cos x=0;$$ $$\cos x\cdot (4\sin x(2+\sin x)+3)=0;$$ $$\cos x\cdot (4{\sin }^{2}x+8\sin x+3)=0.$$

Рассмотрим два случая:

1. $\cos x=0\iff x=\frac{\pi }{2}+\pi n,n\in \mathbb{Z}\text{.}$

2. Решим квадратное уравнение $4{\sin }^{2}x+8\sin x+3=0\text{.}$ Дискриминант:

$$D=8^2-4\cdot 4\cdot 3=64-48=16.$$

Корни уравнения:

$$\sin x=\frac{-8\pm 4}{8}\Rightarrow \sin x=-\frac{1}{2}\text{ или }\sin x=-\frac{3}{2}.$$

Уравнение $\sin x=-\frac{3}{2}$ не имеет решений, так как $|\sin x|⩽1\text{.}$
Для уравнения $\sin x=-\frac{1}{2}$ получим:

$$x=-\frac{\pi }{6}+2\pi n\text{или}x=-\frac{5\pi }{6}+2\pi n,n\in \mathbb{Z}.$$

б) Найдём корни на отрезке $\left[-\frac{5\pi }{2};-\pi \right]\approx [-7,854;-3,142]\text{.}$

Из серии $x=\frac{\pi }{2}+\pi n\text{:}$

• при $n=-3\text{:}$ $x=\frac{\pi }{2}-3\pi =-\frac{5\pi }{2}$ — входит в отрезок (граничная точка);
• при $n=-2\text{:}$ $x=\frac{\pi }{2}-2\pi =-\frac{3\pi }{2}\approx -4,712$ — входит в отрезок.

Из серии $x=-\frac{\pi }{6}+2\pi n\text{:}$

• при $n=-1\text{:}$ $x=-\frac{\pi }{6}-2\pi =-\frac{13\pi }{6}\approx -6,807$ — входит в отрезок.

Из серии $x=-\frac{5\pi }{6}+2\pi n\text{:}$

• при $n=-1\text{:}$ $x=-\frac{5\pi }{6}-2\pi =-\frac{17\pi }{6}\approx -8,901$ — не входит в отрезок.

Ответ:

а) $\frac{\pi }{2}+\pi n\text{;}$ $-\frac{\pi }{6}+2\pi n\text{;}$ $-\frac{5\pi }{6}+2\pi n,n\in \mathbb{Z}$

б) $-\frac{5\pi }{2}\text{;}$ $-\frac{13\pi }{6}\text{;}$ $-\frac{3\pi }{2}$