Задача №16655

В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
1. Каждый январь долг увеличивается на 20% по сравнению с концом предыдущего года.
2. С февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Сколько рублей будет выплачено банку, если известно, что кредит будет полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года) и общая сумма выплат после полного погашения кредита на 48,250 рублей больше суммы, взятой в кредит?

Пусть $X_0$ — взятая сумма, $P$ — каждый из трёх равных платежей. Общая сумма выплат равна $3P\text{,}$ переплата: $3P-X_0=48250\text{,}$ откуда $X_0=3P-48250\text{.}$

Динамика долга:

• Конец января 2027: $1,2X_0\text{.}$ После платежа: $1,2X_0-P\text{.}$
• Конец января 2028: $1,2(1,2X_0-P)=1,44X_0-1,2P\text{.}$ После платежа: $1,44X_0-2,2P\text{.}$
• Конец января 2029: $1,2(1,44X_0-2,2P)=1,728X_0-2,64P\text{.}$ После третьего платежа долг равен нулю:

$$1,728X_0-2,64P-P=0\Rightarrow 1,728X_0=3,64P.$$

Подставим $X_0=3P-48250\text{:}$

$$1,728(3P-48250)=3,64P\Rightarrow 5,184P-3,64P=1,728\cdot 48250.$$ $$1,544P=83376\Rightarrow P=\frac{83376}{1,544}=54000.$$

Проверка: $X_0=3\cdot 54000-48250=113750\text{.}$

• $113750\cdot 1,2=136500\text{;}$ после платежа: $82500\text{.}$
• $82500\cdot 1,2=99000\text{;}$ после платежа: $45000\text{.}$
• $45000\cdot 1,2=54000\text{;}$ после платежа: $0\text{.}$

Ответ: 54,000 рублей.