Задача №16653

Окружность с центром $O$ вписана в треугольник $ABC\text{.}$ Касательная к окружности пересекает стороны $AC$ и $BC$ в точках $D$ и $E$ соответственно.

а) Докажите, что сумма углов $AOD$ и $BOE$ равна $180^{\circ }\text{.}$
б) Найдите $DE\text{,}$ если $AC=BC\text{,}$ радиус окружности равен $3\text{,}$ $\mathrm{tg}\left(\frac{1}{2}\angle BAC\right)=\frac{5\sqrt{3}}{11}\text{,}$ а разность углов $AOD$ и $BOE$ равна $60^{\circ }\text{.}$

а) Пусть $\angle A=\angle BAC\text{,}$ $\angle B=\angle ABC\text{,}$ $\angle C=\angle ACB\text{.}$ $O$ — центр вписанной окружности, поэтому $AO\text{,}$ $BO\text{,}$ $CO$ — биссектрисы углов треугольника $ABC\text{.}$

Для касательной $DE\text{,}$ отсекающей треугольник $CDE$ от вершины $C\text{,}$ окружность лежит относительно прямой $DE$ с противоположной от $C$ стороны. Следовательно, для треугольника $CDE$ окружность является вневписанной относительно вершины $C\text{,}$ а $O$ — центр этой вневписанной окружности. Поэтому $OD$ и $OE$ — биссектрисы внешних углов треугольника $CDE$ при вершинах $D$ и $E\text{:}$

$$\angle ADO=\frac{1}{2}\angle ADE,\angle BEO=\frac{1}{2}\angle BED.$$

Рассмотрим четырёхугольник $ADEB\text{.}$ Сумма его углов:

$$\angle A+\angle ADE+\angle DEB+\angle B=360^{\circ }.$$

Из треугольника $AOD\text{:}$

$$\angle AOD=180^{\circ }-\angle OAD-\angle ADO=180^{\circ }-\frac{\angle A}{2}-\frac{\angle ADE}{2}.$$

Из треугольника $BOE\text{:}$

$$\angle BOE=180^{\circ }-\angle OBE-\angle BEO=180^{\circ }-\frac{\angle B}{2}-\frac{\angle BED}{2}.$$

Складывая эти равенства:

$$\angle AOD+\angle BOE=360^{\circ }-\frac{1}{2}(\angle A+\angle ADE+\angle DEB+\angle B)=360^{\circ }-\frac{1}{2}\cdot 360^{\circ }=180^{\circ }.$$

б) Дано: $AC=BC\text{,}$ $r=3\text{,}$ $\mathrm{tg}\alpha =\frac{5\sqrt{3}}{11}\text{,}$ где $\alpha =\frac{\angle A}{2}=\frac{\angle B}{2}\text{.}$ По условию $\angle AOD-\angle BOE=60^{\circ }\text{.}$

Из пункта а) $\angle AOD+\angle BOE=180^{\circ }\text{,}$ следовательно:

$$\angle AOD=120^{\circ },\angle BOE=60^{\circ }.$$

Найдём $\sin \alpha$ и $\cos \alpha \text{:}$

$$1+{\mathrm{tg}}^2\alpha =\frac{1}{{\cos }^2\alpha }\Rightarrow \frac{1}{{\cos }^2\alpha }=1+\frac{75}{121}=\frac{196}{121}\Rightarrow \cos \alpha =\frac{11}{14}.$$

Тогда $\sin \alpha =\sqrt{1-{\cos }^2\alpha }=\sqrt{1-\frac{121}{196}}=\frac{5\sqrt{3}}{14}\text{.}$

Пусть $P$ — точка касания окружности с $AC\text{,}$ $Q$ — с $BC\text{.}$ Из прямоугольного треугольника $APO\text{:}$

$$AP=\frac{r}{\mathrm{tg}\alpha }=\frac{3\cdot 11}{5\sqrt{3}}=\frac{11\sqrt{3}}{5},AO=\frac{r}{\sin \alpha }=\frac{3\cdot 14}{5\sqrt{3}}=\frac{14\sqrt{3}}{5}.$$

Аналогично $BQ=\frac{11\sqrt{3}}{5}$ и $BO=\frac{14\sqrt{3}}{5}\text{.}$

В треугольнике $AOD\text{:}$ $\angle OAD=\alpha \text{,}$ $\angle AOD=120^{\circ }\text{,}$ тогда $\angle ADO=60^{\circ }-\alpha \text{.}$ По теореме синусов:

$$AD=\frac{AO\cdot \sin 120^{\circ }}{\sin (60^{\circ }-\alpha )}.$$

Вычислим $\sin (60^{\circ }-\alpha )=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{11}{14}-\frac{1}{2}\cdot \frac{5\sqrt{3}}{14}=\frac{6\sqrt{3}}{28}=\frac{3\sqrt{3}}{14}\text{.}$ Тогда:

$$AD=\frac{14\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}\cdot 14}{5\cdot 2\cdot 3\sqrt{3}}=\frac{98\sqrt{3}}{15}.$$

В треугольнике $BOE\text{:}$ $\angle OBE=\alpha \text{,}$ $\angle BOE=60^{\circ }\text{,}$ тогда $\angle BEO=120^{\circ }-\alpha \text{.}$ По теореме синусов:

$$BE=\frac{BO\cdot \sin 60^{\circ }}{\sin (120^{\circ }-\alpha )}.$$

Вычислим $\sin (120^{\circ }-\alpha )=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{11}{14}-\left(-\frac{1}{2}\right)\cdot \frac{5\sqrt{3}}{14}=\frac{16\sqrt{3}}{28}=\frac{4\sqrt{3}}{7}\text{.}$ Тогда:

$$BE=\frac{14\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}\cdot 7}{5\cdot 2\cdot 4\sqrt{3}}=\frac{49\sqrt{3}}{20}.$$

Так как $AD>AP$ и $BE>BQ\text{,}$ точки $D$ и $E$ лежат на отрезках $PC$ и $QC$ соответственно. Отрезки касательных из одной точки равны: $DP=DF$ и $EQ=EF\text{,}$ где $F$ — точка касания на $DE\text{.}$ Тогда:

$$DP=AD-AP=\frac{98\sqrt{3}}{15}-\frac{33\sqrt{3}}{15}=\frac{65\sqrt{3}}{15}=\frac{13\sqrt{3}}{3};$$ $$EQ=BE-BQ=\frac{49\sqrt{3}}{20}-\frac{44\sqrt{3}}{20}=\frac{5\sqrt{3}}{20}=\frac{\sqrt{3}}{4}.$$

Следовательно:

$$DE=DF+FE=DP+EQ=\frac{13\sqrt{3}}{3}+\frac{\sqrt{3}}{4}=\frac{52\sqrt{3}+3\sqrt{3}}{12}=\frac{55\sqrt{3}}{12}.$$

Ответ: $\frac{55\sqrt{3}}{12}\text{.}$