Задача №16650

а) Решите уравнение
$\sqrt{3}{\sin }^{2}x-\sin 2x=\sqrt{3}{\cos }^{2}x\text{.}$
б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку
$\left[0;\frac{3\pi }{2}\right]\text{.}$

а) Перенесём все слагаемые в одну часть:

Разделим на $\cos 2x\ne 0$ (если $\cos 2x=0\text{,}$ то и $\sin 2x=0\text{,}$ что невозможно):

б) Отбор корней на отрезке $\left[0;\frac{3\pi }{2}\right]$ проведём с помощью двойного неравенства:

Разделим на $\pi \text{:}$

Так как $n\in \mathbb{Z}\text{,}$ то $n$ может принимать значения $1,2,3\text{.}$

1. При $n=1\text{:}$ $x=-\frac{\pi }{6}+\frac{\pi }{2}=\frac{\pi }{3}\text{.}$
2. При $n=2\text{:}$ $x=-\frac{\pi }{6}+\pi =\frac{5\pi }{6}\text{.}$
3. При $n=3\text{:}$ $x=-\frac{\pi }{6}+\frac{3\pi }{2}=\frac{4\pi }{3}\text{.}$

Ответ:

а) $-\frac{\pi }{6}+\frac{\pi n}{2},n\in \mathbb{Z}$

б) $\frac{\pi }{3};\frac{5\pi }{6};\frac{4\pi }{3}$